Chapitre 24-Fonctions de deux variables réelles

24 Fonctions de deux variables réelles
24.1 Fonctions continues
24.1.1 Applications partielles
Définition 1 : Soit f une fonction de 2 dans définie sur D. Pour tout ( x 0 , y 0 ) ∈ D , on
définit les applications partielles
x → f 1 ( x ) = f ( x , y 0 ) et y → f 2 ( y ) = f ( x 0 , y ) .
Remarque : les applications partielles ne caractérisent pas la fonction f.
f ( x , y) =
xy
x + y2
Proposition 1 : Soit D une partie de 2. L’ensemble des fonctions définies sur D est un
anneau, ainsi qu’un -espace vectoriel.
Exemple :
2
24.1.2 Limites et continuité
Définition 2 : Dans 2 muni de la norme
on appelle boule ouverte de centre a et de rayon
ε l’ensemble des points x de 2 tels que x − a < ε .
Une partie A est bornée si : ∃M∈, ∀x∈A, ||x|| ≤ M.
Une partie A est dite ouverte si, pour tout point a de A, il existe une boule ouverte de centre a
contenue dans A.
Définition 3 : Une fonction f définie sur un ouvert U admet une limite l au point (x0, y0) si
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀(x, y )∈U, (x, y )−(x0, y0 ) ≤ α ⇒ f (x, y )−l ≤ ε
Remarque : Il ne suffit pas d’obtenir une limite en faisant tendre (x,y) vers ( x 0 , y 0 ) suivant
un chemin particulier. (ex. ci-dessus).
Définition 4 : Une fonction f de 2 dans , définie sur un ouvert U de 2 et ( x 0 , y 0 ) un point
donné de U. f est dite continue en ( x 0 , y 0 ) si :
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀( x , y ) ∈U , ( x , y ) − ( x 0 , y 0 ) ≤ α ⇒ f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) ≤ ε
Théorème 1 : Si une fonction f de 2 dans est continue en ( x 0 , y 0 ) , chacune des deux
applications partielles est continue respectivement en x 0 et y 0 .
Remarque : La réciproque est fausse(exemple précédent en (0,0)).
Proposition 2 : Soit U un ouvert de 2. L’ensemble C0(U,) des fonctions de 2 dans continues sur U est un anneau, et un -espace vectoriel.
24.2 Calcul différentiel
24.2.1 Dérivée suivant un vecteur ; dérivées partielles
Définition 5 : Soit f une fonction de 2 dans définie sur un ouvert U de 2.
Soit a 0 = ( x 0 , y 0 ) ∈U et u∈2. Pour t proche de 0, on pose ϕu ( t ) = f ( a0 + tu ) . Si ϕu est
dérivable en 0, on dit que f admet une dérivée suivant le vecteur u en a 0 et on pose :
Du f ( a0 ) = ϕu′ ( 0 ) = lim
f ( a0 + tu ) − f ( a0 )
t →0
t
Définition 6 : Soit f une fonction de 2 dans définie sur un ouvert U de 2. On appelle
dérivées partielles de f en a 0 = ( x 0 , y 0 ) ∈U les dérivées des applications partielles en a 0 :
D1 f (a 0 ) =
D2 f (a 0 ) =
f ( x0 + t , y0 ) − f ( x0 , y0 )
∂f
x 0 , y 0 ) = lim
(
t →0
t
∂x
f ( x0 , y0 t ) − f ( x0 , y0 )
∂f
x 0 , y 0 ) = lim
(
t →0
∂y
t
Attention : L’existence de dérivées partielles en un point n’implique même pas la continuité
en ce point. (exemple précédent)
24.2.2 Fonctions de classe C1
Définition 7 : Une fonction f de 2 dans définie sur un ouvert U est dite de classe C1 sur U
si elle admet des dérivées partielles continues sur U.
Proposition 3 : l’ensemble des fonctions de classe C1 sur un ouvert U est une -algèbre,
notée C1(U,).
Théorème 2 : Soit f une fonction de classe C1 sur un ouvert U de 2. f admet en tout point
a 0 = ( x 0 , y 0 ) ∈U une dérivée suivant tout vecteur h = (h1 , h2 ) , et :
Dh f (a 0 ) = h1 D1 f (a 0 ) + h2 D2 f (a 0 ) .
De plus, f admet un développement limité à l’ordre 1 au voisinage de a 0 :
f (a 0 + th ) = f (a 0 ) + tDh (a 0 ) + o(t ) .
Définition 8 : L’application h → Dh f (a 0 ) est une forme linéaire sur 2, représentée dans la
(
)
base canonique par la matrice J = D1 f (a 0 ), D2 f (a 0 ) . On l’appelle différentielle de f.
On la note souvent : df = D1 fdx + D2 fdy =
∂f
∂f
dx +
dy ;
∂x
∂y
On peut aussi interpréter Dh f (a 0 ) comme le produit scalaire de h avec le vecteur
( D f (a ), D f (a )) , que l’on appelle le gradient de f, et que l’on note Grad f (a ) :
→
1
0
(
2
0
Dh f (a 0 ) = Grad f (a 0 ) h
→
0
)
Proposition 4 : En tout point le gradient est orthogonal aux lignes de niveau.
Exemple : Equation d’un plan tangent à la surface z = f(x, y)
24.2.3 Extremum local
Définition 9 : Soit f une fonction de 2 dans définie sur un ouvert U. On dit que f admet
un maximum (resp. un minimum) local en a 0 ∈U s’il existe une boule ouverte B de centre a 0
(
)
telle que : ∀x ∈ B , f ( x) ≤ f (a 0 ) resp. f ( x) ≥ f (a 0 ) . On appelle extremum un point qui est
soit un maximum soit un minimum.
Théorème 3 : Si une fonction de classe C1 de 2 dans présente un extremum local en a 0 ,
alors son gradient (c’est-à-dire ses dérivées partielles) s’annule en ce point.
Remarque : la réciproque est fausse.
Exemple : f ( x , y ) = x 4 − 2 x 2 y 2 + 2 y 2
24.2.4 Dérivées d’ordre supérieur

∂2f
∂ ∂ f 
∂2f
∂ ∂ f 
2
D
f
=
=
D
D
f
=
=
2 1
 1


2
∂x
∂x ∂ x 
∂ y∂ x ∂ y  ∂ x 

Définition 10 : 
2
∂ 2 f ∂ ∂ f 
2
D D f = ∂ f = ∂  ∂ f 
D
f
=
= 



2
 1 2
∂ x∂ y ∂ x  ∂ y 
∂ y 2 yx  ∂ y 

f est de classe C2 sur U si ces quatre dérivées sont continues sur U.
Proposition 5 : L’ensemble des fonctions de classe C2 de U dans est une -algèbre, notée
C2(U,).
Théorème 4 (Théorème de Schwarz) : Si f est de classe C2 sur un ouvert U, alors en tout
∂2 f ∂2 f
point de U :
=
∂x∂y ∂y∂x
(
)
xy x2 − y 2
Contre-exemple : f ( x, y ) =
si (x, y) ≠ (0, 0), f(0, 0) = (0, 0)
2
2
x +y
24.2.5 fonction composée
Proposition 6 : Soit f une fonction de classe C1 sur un ouvert U de 2, à valeurs dans , et ϕ
une fonction de classe C1 sur un intervalle I de , à valeurs dans U : ϕ (t ) = ( x(t ), y(t )) . La
fonction F = f ϕ est une fonction de classe C1 sur I et :
→
∂f
∂f


(
)
(
)
(
)
F′ t =
x′ t +
y ′ t =  gradf ϕ ( t ) ϕ (t ) .


∂x
∂y
Proposition 7 : Soit f une fonction de classe C1 sur un ouvert U de 2, à valeurs dans , et ϕ
une fonction de classe C1 sur un ouvert V de 2, à valeurs dans U : ϕ ( x , y ) = u( x , y ) , v( x , y ) .
La fonction F = f
 ∂F ∂f ∂u ∂f
 ∂x = ∂u ∂x + ∂v
 ∂F ∂f ∂u ∂f

=
+
 ∂y ∂u ∂y ∂v
ϕ est une fonction de dans de classe C sur U et :
∂v
∂u 
 ∂u
∂f
∂f  ∂x
∂x



∂y 
∂
F
∂
F
=



∂v , ou encore :  ∂x
∂
v
∂v 
∂y   ∂u
∂v 
∂
x
∂
y 

∂y
2
(
)
1
Application : coordonnées polaires.
24.3 Calcul intégral
24.3.1 Intégration sur un rectangle
Définition 11 : Soit f une fonction continue sur un ouvert U et R = [a, b]x[c, d] un rectangle
contenu dans U. On appelle intégrale de f sur R :
d
 b f (x, y )dxdy = b  d f (x, y )dy dx (l’égalité de ces deux dernières
f
=
f
(
x
,
y
)
dxdy
=
∫∫R ∫∫R
∫c ∫a
∫a ∫c


intégrales est un théorème, connu sous le nom de théorème de Fubini).
Propriétés :
1) L’application f ֏ ∫∫ f est une forme linéaire sur l’ensemble des fonctions continues sur R.
R
2) L’intégrale est invariante par translation : Soit R’ le rectangle déduit de R par translation
de vecteur (α, β) : ∫∫ f (x, y )dxdy =∫∫ f (x−α , y − β )dxdy
R
R'
3) Si R = R1∪R2, avec R1∩R2 =∅, alors
4) Si f(x,y) = g(x)h(y), alors
∫∫
R
∫∫ f (x, y )dxdy=∫∫ f (x , y )dxdy + ∫∫ f (x , y )dxdy .
R
R1
R2
f = ∫ g(x )dx  ∫ h( y )dy  .
 a
 c

b
d
24.3.2 Extension de l’intégrale
Définition 12 : Si A est le domaine plan défini par a ≤ x ≤ b et u(x) ≤ y ≤ v(x), et f continue
b
v( x )
sur un ouvert contenant A, on pose ∫∫ f = ∫∫ f (x, y )dxdy =∫ ∫ f (x, y )dy dx .

A
A
a
 u( x )
Théorème 5 (de Fubini) : Si A peut être défini par ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y) et c ≤ y ≤ d, alors
d
ψ( y )
∫∫A f =∫c ∫ϕ( y ) f (x, y )dxdy .
Définition 13 : L’aire d’un domaine plan A est donné par l’intégrale sur A de la fonction
constante égale à 1.
24.3.3 Changement de variable
1) Changement de variable affine : Considérons un domaine A, et A’ l’image de A par une
a
a12  x  b1 
x b 
application affine de 2 dans 2, c’est-à-dire ϕ : xy ֏ uv = 11
 y + b = M y + b1  .
a
a
22 
 21
 2
 2
1
−
Alors : ∫∫ f = 1 ∫∫ f ϕ (u,v )dudv .
A
det M A '
Application : intégration sur un parallélogramme.
() ()
(
()
()
)
2) Coordonnées polaires : Considérons un domaine A, A’ = {(ρ, θ), (ρcosθ, ρsinθ)∈A.
Alors : ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (ρ cosθ, ρ sinθ )ρdρdθ .
A
A'
Application : intégration sur un disque, une couronne.
Exemple :
∫∫
A
xy
x +y
2
2
dxdy où A= {(x, y) ∈ 2, x ≥ 0, y ≥ 0, a2 ≤ x2 ≤ y2}.
24.4 Champs de vecteurs de 2
24.4.1 Champ de vecteurs, champ de gradient
Définition 14 : On appelle champ de vecteurs sur une partie U de 2 toute application de U
2
U →R
dans 2 : V :
(x, y )֏(P(x, y ),Q(x, y )) .
{
Si U est de classe C1, on appelle différentielle de U l’endomorphisme de matrice la matrice
∂P 
 ∂P
 ∂x
∂y 
jacobienne de U : J = ∂Q
∂Q  .
 ∂x
∂y 

Définition 15 : S’il existe une fonction f de classe C2 sur U telle que ∀(x, y) ∈U, grad f =V ,
on dit que V est un champ de gradient.
Remarque : Si V est un champ de gradient, alors sa matrice jacobienne est symétrique.
Définition 16 : Un ouvert U de 2 est étoilé par rapport à un de ses points s’il existe A∈U tel
que, ∀M∈U, [AM] ∈ U.
Théorème 6 (de Poincaré) : Un champ de vecteurs V (x, y )=(P(x, y ),Q(x, y )) de classe C1 sur un
ouvert u étoilé par rapport à un de ses points, et dont la matrice jacobienne est symétrique, est
le champ de gradient d’une fonction f de classe C2.
On dit que f est un potentiel scalaire du champ V , ou que ce champ dérive d’un potentiel
scalaire.
 −y

Exemple : V (x, y )= 2 2 , 2 x 2  sur \{0}.
 x +y x +y 
24.4.2 Circulation
Définition 17 : Soit V (x, y )=(P(x, y ),Q(x, y )) un champ de vecteurs de classe C1 sur une partie
U de 2, et γ une courbe paramétrée de classe C1 définie sur un intervalle [a, b], à valeurs
dans U. On appelle circulation du champ V sur γ l’intégrale :
b
I =∫ V (γ (t )γ '(t ))dt =∫ P(x, y )dx+Q(x, y )dy . Cette dernière notation est appelée intégrale
a
γ
curviligne.
Exemple :
∫γ xdy− ydx , où γ est le cercle trigonométrique parcouru dans le sens direct.
Théorème 7 : La circulation d’un champ de gradient sur une courbe paramétrée ne dépend
pas de cette courbe, mais uniquement de ses extrémités. En particulier, la circulation d’un
champ de gradient sur une courbe fermée est nulle.
24.4.3 Formule de Green-Riemann
Théorème 8 : Soit U un domaine de 2 limité par une courbe fermée simple de classe C1,
parcourue dans le sens direct, et V (x, y )=(P(x, y ),Q(x, y )) un champ de vecteurs de classe C1 sur
∂Q
U. Alors : ∫ Pdx+Qdy = ∫∫  ∂P − dxdy .
γ
U  ∂x
∂y 
Application : Calcul d’aires : Soit U un domaine de 2 limité par une courbe fermée simple
de classe C1, parcourue dans le sens direct :
L’aire du domaine U est :