CC1

Université d’Orléans 2025-2026
Master M1 MAS Signal
Contrôle Continu - 10 novembre 2025
Durée : 2 heures
Documents autorisés : fiche de cours signal (fournie)
Calculatrice autorisée - aucun ordinateur ni téléphone.
Exercice 1 - Analyse de périodicité et spectre (6 pts)
Soit f0>0, on considère le signal défini pour t∈Rpar :
s(t)=3−2 cos(2πf0t) + 4 sin(6πf0t+π
3)
1) Déterminer si sest périodique et donner sa période fondamentale Tet sa fréquence fondamen-
tale f.
2) Écrire s(t)sous forme exponentielle complexe s(t) = X
k
cke2iπkf0tet préciser les coefficients
non nuls ck.
3) Représenter le spectre d’amplitude et de phase de s.
4) Que devient le spectre si l’on ajoute un décalage temporel t0=1
4f0et que l’on considère
s(t−t0)?
Exercice 2 - Transformée de Fourier discrète (DFT) (5 pts)
On considère le signal discret x= (1,0.5,0,0.5,1) de longueur N= 5 défini sur {0, .., N −1}.
1) Esquisser xet une fonction passant par ces points.
2) Calculer sa DFT complète (on pourra laisser les coefficients sous forme exponentielle).
3) Vérifier la symétrie conjuguée pour un signal réel.
4) Si on construit x2[n] = x[(n−2) mod 5], exprimer la DFT de x2en fonction de celle de x.
5) Comment le spectre serait-il affecté si l’on multiplie x[n]par cos(2πn/5) ?
Exercice 3 - Signaux périodiques et séries de Fourier (9 pts)
Soient deux signaux 2π-périodiques définis sur [−π, π[par
s(t) = (1,|t| ≤ π
2
0,sinon et v(t) = cos(t).
1) Dessiner le graphe de set vsur [−T, T ]pour T= 2π.
2) Vérifier que s, v ∈L2
T(R)et déterminer ksk2.
3) Donner les coefficients de Fourier ck(s)et ck(v), pour tout k∈Z.
4) Pourquoi sont-ils tous dans R?
1

5) En déduire que
+∞
X
k=0
1
(2k+ 1)2=π2 8.
6) Que vaut kvk2?
7) Si t∈R, a-t-on convergence de la série Pk∈Zck(s)eikt ? Si oui, quelle est sa valeur ?
8) Quels sont les coefficients de Fourier du signal w=s∗v?
9) En déduire l’expression de wsans calculer l’intégrale.
2