Applications Linéaires : Cours et Exemples

Chapitre 2: APPLICATIONS LINÉAIRES
LAKHEL El Hassan
Filière: Années Préparatoires
ENSA-Safi
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Applications linéaires Généralités
Applications linéaires
Dans ce cours, Kdésigne R,Cou un corps commutatif quelconque.
Définition 1.
Soit E et F deux K-espaces vectoriels et soit f une application de E dans F . On dit que f est
une application linéaire de E dans F si
∀x,y∈E,∀λ∈K: f (x+λy) = f(x) + λf(y).
Remarque 1.
1Si f est une application linéaire de E dans F , on a f (0) = 0.
2Pour tout x ∈E , on a f (−x) = −f(x).
Exemple 1.
1Soit E et F deux K-e.v. L’application
f:E−→ F
x−→ 0F
est linéaire.
2Soit ψ:F(R,R)−→ R
f−→ f(x0),x0∈R
ψest une application linéaire.
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Applications linéaires Généralités
Voici d’autres exemples d’applications linéaires :
Exemple 2.
1L’application u :C1(R,R)→ C0(R,R)est définie par u(f) = f′Cette application est
linéaire car elle satisfait les propriétés de linéarité :
u(f+g) = f′+g′=u(f) + u(g)
u(λf)=(λf)′=λf′=λu(f)pour tout scalaire λ.
2L’application f définie par
f:R3→R2
(x,y,z)7→ (−2x,y+3z)
est une application linéaire.
En effet, soient u = (x,y,z)et v = (x′,y′,z′)deux éléments
de R3et λun réel.
f(u+λv) = f(x+λx′,y+λy′,z+λz′)
=−2(x+λx′),y+λy′+3(z+λz′)
= (−2x,y+3z) + λ(−2x′,y′+3z′)
=f(u) + λf(v)
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Applications linéaires Généralités
Voici d’autres exemples d’applications linéaires :
Exemple 2.
1L’application u :C1(R,R)→ C0(R,R)est définie par u(f) = f′Cette application est
linéaire car elle satisfait les propriétés de linéarité :
u(f+g) = f′+g′=u(f) + u(g)
u(λf)=(λf)′=λf′=λu(f)pour tout scalaire λ.
2L’application f définie par
f:R3→R2
(x,y,z)7→ (−2x,y+3z)
est une application linéaire. En effet, soient u = (x,y,z)et v = (x′,y′,z′)deux éléments
de R3et λun réel.
f(u+λv) = f(x+λx′,y+λy′,z+λz′)
=−2(x+λx′),y+λy′+3(z+λz′)
= (−2x,y+3z) + λ(−2x′,y′+3z′)
=f(u) + λf(v)
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Définition 2.
Soit E et F deux K-espaces vectoriels et soit f une application linéaire de E dans F .
•Si E =F , f s’appelle un endomorphisme de E.
•Si E =K, f s’appelle une forme linéaire sur E.
•Si f est une bijection de E sur F ,f s’appelle un isomorphisme de E sur F.
Un isomorphisme de E sur E s’appelle aussi automorphisme de E.
Proposition 3.
Si f est un isomorphisme de E sur F , l’application réciproque f −1est un isomorphisme de F sur
E, appelé isomorphisme réciproque de f .
Preuve.
Puisque fest une bijection de Edans F, alors f−1est une bijection de Fdans E. Il
nous suffit de montrer que f−1est linéaire.
Soient x′et y′∈Fet λ∈K; soit x=f−1(x′),y=f−1(y′).
On a f(x+λy) = f(x) + λf(y) = x′+λy′
Donc
f−1(x′+λy′) = x+λy=f−1(x′) + λf−1(y′).
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