MPSI-2I, Lycée Henri Wallon Année 2024/2025
Devoir surveillé no2
Samedi 5octobre 2024
Durée : 3heures
La clarté des raisonnements, la précision de la rédaction et la présentation entreront pour une part non négligeable dans l’apprécia-
tion des copies.
Les résultats non justifiés ou non encadrés ne seront pas pris en compte.
L’utilisation de tout document, de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Exercice 1
1.Déterminer la forme algébrique du nombre complexe 1+i
p3+i.
2.Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe 1+i
p3+i.
3.En déduire cos(π
12 ),sin(π
12 )et tan(π
12 ).
4.Pour tout a∈R, exprimer cos(2a)en fonction de cos(a).
5.En déduire que cos(π
12 )est solution de l’équation 4x2=2+p3d’inconnue x∈R.
6.Retrouver la valeur de cos(π
12 ).
Exercice 2
Résoudre l’équation 2+|x|−|x−1|−|x+1|=0d’inconnue x∈R.
Exercice 3
1.Montrer que pour tout x∈R, on a px2+1>|x|.
2.En déduire que pour tout x∈R,x+px2+1>0.
3.Montrer que f:R−→ R
x7−→ ln(x+px2+1)
est une fonction impaire.
4.Déterminer f′(x)pour tout x∈R.
5.Montrer que fest injective (on pourrait montrer que fest bijective).
Exercice 4
1.Démontrer que pour tous n∈Z\{0}et (a,a′,b,b′)∈Z4tels que a≡a′[n]et b≡b′[n], on a
a+b≡a′+b′[n]et ab ≡a′b′[n].
2.Soit a∈Z. Démontrer que aest divisible par 3si et seulement si a2est divisible par 3.
Pour le sens réciproque, on pourra raisonner par disjonction de cas suivant le reste de la division euclidienne de apar 3(il y aura
donc trois cas).
Exercice 5
Linéariser la fonction f:R→Rdéfinie par : ∀x∈R,f(x) = sin(3x)cos2(x).
Exercice 6
Soit n∈N∗.
1.Déterminer les racines carrées de 4+3i.
2.Résoudre l’équation z2n= (4+3i)nd’inconnue z∈C(on fera intervenir U2npour exprimer l’ensemble des solutions).
Exercice 7Soit f:R−→ R.
x7−→ 1
1+x2+x6
1.Étudier les variations de la fonction f.
2.Déterminer l’image directe f([0, 1]).
3.Déterminer l’image réciproque f−1([0, 1
3]).
4.Justifier que finduit une bijection de [0, 1]sur [1
3, 1].
Autrement dit, montrer que la fonction ˜
f:[0, 1]−→ [1
3, 1]
x7−→ f(x)
est bijective.
5.Tracer l’allure du graphe de ˜
fet de celui de ˜
f−1.
Mathématiques —Devoir surveillé no21/2Samedi 5octobre 2024
MPSI-2I, Lycée Henri Wallon Année 2024/2025
Exercice 8
1. a. Rappeler l’ensemble des solutions de l’équation cos(θ) = 0d’inconnue θ∈R.
On note S1l’ensemble des solutions de cette équation.
b. Résoudre l’équation cos(θ) = eiθd’inconnue θ∈R.
On note S2l’ensemble des solutions de cette équation.
2.On note S=S1∪S2. Soit θ∈R\S (i.e. soit θ∈Rtel que cos(θ)̸=0et cos(θ)̸=eiθ) et soient les deux sommes
S=
n
X
k=0
cos(kθ)
cosk(θ)et T=
n
X
k=0
sin(kθ)
cosk(θ)·
a. Calculer S+iT.
b. En déduire la valeur de Set de T.
Exercice 9
Dans cet exercice, on suppose que f:N→Ndésigne une application vérifiant :
(a) fest strictement croissante sur N;
(b) ∀(a,b)∈N2,f(ab ) = f(a)f(b);
(c) Il existe n∈N\{0, 1}que l’on suppose ainsi fixé tel que f(n) = n.
1.Montrer que pour tous x∈Net k∈N, on a f(xk) = f(x)k.
2.Montrer que si mdésigne un entier naturel et si g:[[0, m]] →[[0, m]] désigne une application strictement croissante
sur [[0, m]], alors g=Id[[0,m]].
3.Démontrer que f=IdN.
Un peu de trigonométrie
Partie no1—Préambule
Soient n∈N\{0, 1}et ω=ei2π
n.
1.Quel-est l’ensemble ωk,k∈[[0, n−1]]?
2.Calculer la somme n−1
P
k=0
ωket le produit n−1
Q
k=0
ωk.
Partie no2—Calcul de cos(π
5)
Dans cette partie, on pose α=eiπ
5.
3.Montrer que l’on a 1−α+α2−α3+α4=0.
4.En déduire que 1−(α+α) + (α2+α2) = 0.
Indication : factoriser l’égalité de la question précédente par α2.
5.En déduire que 1−2 cos(π
5) + 2 cos(2π
5) = 0puis que cos(π
5)est solution de l’équation
4x2−2x−1=0
d’inconnue réelle x.
6.Résoudre l’équation 4x2−2x−1=0d’inconnue réelle x.
7.En déduire la valeur exacte de cos(π
5).
Partie no3—Autour de cos(π
7)
Dans cette partie, on pose ω=ei2π
7,S=ω+ω2+ω4et T=ω3+ω5+ω6.
8.Montrer que S+T=−1puis calculer ST .
9.Justifier que la partie imaginaire de Sest strictement positive.
10.En déduire les valeurs de Set T.
Bon week-end!
Mathématiques —Devoir surveillé no22/2Samedi 5octobre 2024
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