La volatilité locale - Finance de marché – Dalloz

La Volatilit´e Locale
Bertrand TAVIN ∗
Universit´e Paris 1 - Panth´eon Sorbonne
26 mai 2010
R´esum´e
Dans cette courte note nous introduisons le concept de volatilit´ e
locale et les mod`eles de pricing bas´es sur celui-ci. Par rapport au mod`ele
de Black-Scholes et Merton ces mod`eles ont l’avantage d’ˆetre compatibles
avec le smile de march´e sans introduire de nouvelle source de risque. Et
peuvent ainsi ˆetre consid´er´es comme une extension de celui-ci.
Mots Cl´es : Smile de volatilit´e. Volatilit´e locale. ´ Equation de Dupire. Diffusion
implicite. Formule de Breeden-Litzenberger. ´ Equation de Fokker-Planck.
Table des mati`eres
1 Introduction 2
2 Distribution risque-neutre implicite. 3
3 Volatilit´e locale (diffusion implicite de Dupire) 4
4 Interpr´etation de la volatilit´e locale 6
5 Conclusion 8
A´ Equation de Dupire (Preuve) 10
B Lien avec la variance instantan´ee (Preuve) 12
∗[email protected]
1

1 Introduction
Rappelons d’abord le mod`ele g´en´eralis´e de Black-Scholes et Merton, voir [1]
(Black &Scholes, 1973) et [8] (Merton, 1973). On consid`ere un march´e
financier en temps continu, complet et sans opportunit´e d’arbitrage. Sur ce
march´e est trait´e un titre primitif Squi paye un dividende continu d´eterministe
d. Sont aussi trait´ees des options d’achat et de vente sur S. Pour all´eger les
calculs on consid`ere un taux d’int´erˆet rd´eterministe et on note B(0, T ) le prix
du z´ero-coupon de maturit´e T. Dans ce cadre il existe une unique probabilit´e
risque-neutre, not´ee Q, et on peut ´ecrire le prix d’un actif quelconque comme
l’esp´erance sous Qde son payoff actualis´e.
L’´equation diff´erentielle stochastique (dynamique risque-neutre) de Ss’´ecrit
dSt=St((r(t)−d(t)) dt +σ(t)dWt) (1.1)
avec S0connu, West un Qmouvement Brownien. On note µ=r−d(drift
risque-neutre S) et σune fonction d´eterministe du temps de carr´e int´egrable,
c’est-`a-dire telle que ∀T > 0
ZT
0
σ2(t)dt < ∞
Dans ce cadre il est possible d’obtenir le prix d’un call sur Sde strike Ket
de maturit´e T, not´e C(K, T ), sous la forme d’une formule ferm´ee.
C(K, T ) = EQhe−RT
0r(t)dt (ST−K)+i
=S0e−RT
0d(t)dtN(d1)−Ke−RT 0r(t)dtN(d0)
=B(0, T ) (F0N(d1)−KN (d0)) (1.2)
Avec F0le prix forward de S(maturit´e T), Nla fonction de r´epartition de
la loi normale centr´ee r´eduite
F0=S0eRT
0µ(t)dt
d0=ln F0
K
Σ (0, T )√T−1
2Σ (0, T )√T
d1=d0+ Σ (0, T )√T
Σ2(0, T ) = 1
TZT
0
σ2(t)dt
2

Si on extrait la volatilit´e implicite des prix d’options (la volatilit´e n’est pas di-
rectement observable, contrairement aux autres param`etres de la formule (1.2))
on constate que celle-ci n’est pas constante. D’une part `a strike fix´e la volatilit´e
implicite varie avec la maturit´e de l’option consid´er´ee. C’est ce qu’on appelle la
structure par terme de la volatilit´e implicite. Et d’autre part, `a maturit´e fix´ee,
la volatilit´e implicite d´epend du strike. C’est le smile de volatilit´e.
Le mod`ele pr´esent´e plus haut est compatible avec le ph´enom`ene de structure
par terme de volatilit´e mais n’est pas capable de reproduire le smile constat´e en
pratique. Pour conclure nous dirons que la dynamique risque-neutre de Black-
Scholes et Merton n’est donc pas compatible avec le ph´enom`ene de smile qui
existe sur tous les march´es d’options.
Pour une pr´esentation compl`ete et d´etaill´ee de ce mod`ele et des probl´ematiques
de smile, le lecteur int´eress´e pourra consulter le chapitre 12 de l’ouvrage [9]
(Portait &Poncet, 2009).
Dans la suite de cette note nous allons nous poser la question dans l’autre
sens et consid´erer les prix de march´e d’options sur Scomme donn´es. D’abord
nous allons voir qu’il est possible de reconstruire la densit´e risque-neutre de
ST`a partir des prix des options de maturit´e T. Puis qu’on peut trouver, en
poussant plus loin l’analyse, une diffusion risque-neutre unique compatible avec
l’ensemble des prix d’options.
2 Distribution risque-neutre implicite.
Dans cette partie on raisonne sur une maturit´e T > 0 fix´ee. Et on suppose
connu les prix de tous les calls (C(K))K∈[0,+∞]ou de tous les puts (P(K))K∈[0,+∞]
ce qui revient au mˆeme.
On note φTla densit´e risque-neutre de STc’est-`a-dire φT:R→[0,1] telle
que φT(x)dx =Q(ST∈[x, x +dx]). On a, par construction, RRφT(x)dx = 1
Si on pose π(x) = B(0, T )φT(x)dx =B(0, T )Q(ST∈[x, x +dx]) .On
peut interpr´eter π(x) comme le prix d’un actif qui paye 1 si ST∈[x, x +dx] et
0 sinon. C’est l’´equivalent, dans un espace continu (dx →0), d’un actif d’Arrow-
Debreu.
Une option europ´eenne v, de payoff h(ST),peut ˆetre r´epliqu´ee par un por-
tefeuille continu d’actifs d’Arrow-Debreu pond´er´es par le payoff de l’option. Et
son prix v0peut s’´ecrire comme une int´egrale des π
v0=Z+∞
0
π(x)h(x)dx =B(0, T )Z+∞
0
φT(x)h(x)dx (2.1)
Pour un call de strike K, on a C(K) = B(0, T )R+∞
K(x−K)φT(x)dx
En d´erivant cette ´egalit´e une premi`ere fois par rapport `a K, on obtient
3

∂C
∂K (K) = −B(0, T )Z+∞
K
φT(x)dx (2.2)
puis ∂2C
∂K2(K) = B(0, T )φT(K) et
φT(x) = 1
B(0, T )
∂2C
∂K2(x) (2.3)
On a obtenu la densit´e φTde ST`a partir des prix des calls sur S(notons
ici que le r´esultat (2.3) est le mˆeme avec des puts). Cette formule est appel´ee
formule de Breeden-Litzenberger, voir [2] (Breeden &Litzenberger, 1978).
La connaissance des prix des calls pour un continuum de strike, (C(K))K∈[0,+∞],
permet donc de reconstruire sans ambig¨uit´e la densit´e risque-neutre du sous-
jacent en T. La distribution ainsi calcul´ee est appel´ee distribution implicite.
Cette approche de la densit´e implicite figure au Chapitre 12 de [9] (Portait
&Poncet, 2009). Partant de ce r´esultat les auteurs obtiennent aussi une
´el´egante formule de r´eplication statique des options europ´eennes.
3 Volatilit´e locale (diffusion implicite de Dupire)
La connaissance des densit´es (φT)T≥0ne permet pas de d´eterminer de mani`ere
unique les caract´eristiques du processus S. Il est donc n´ecessaire d’aller plus loin
dans notre ´etude.
La premi`ere id´ee de Dupire, voir [5,6] (Dupire, 1993 et 1994) est de res-
treindre son analyse `a une diffusion risque-neutre de la forme
dSt=St(µ(t)dt +σ(St, t)dWt)
o`u σ(volatilit´e instatan´ee) est une fonction de volatilit´e locale que l’on cherche
`a d´eterminer `a partir des prix des calls.
Il est int´eressant de rappeler d’abord que le prix v=v(St, t) d’une option
europ´eenne de pay-off h(ST) en Tv´erifie l’´equation aux d´eriv´ees partielles de
Black-Scholes et Merton
∂v
∂t +µ(t)x∂v ∂x +1 2σ2(x, t)x2∂2v ∂x2−r(t)v= 0
v(x, T ) = h(x)sur [0,+∞]×[0, T ]
Cette ´equation est aussi appel´ee ´equation backward car elle se r´esout T−→ t
dans l’espace (St, t). En particulier pour un call cette ´equation devient
(∂C
∂t +µ(t)x∂C ∂x +1 2σ2(x, t)x2∂2C ∂x2−r(t)C= 0
C(x, T ) = (x−K)+sur [0,+∞]×[0, T ]
4

Et on est tent´e d’´ecrire
1
2σ2(x, t) =
∂C
∂t +µ(t)x∂C ∂x −r(t)C
x2∂2C
∂x2
(3.1)
Mais on ne connait les prix des calls qu’au point (St, t). C’est insuffisant pour
calculer les d´eriv´ees partielles qui interviennent dans la formule. On ne peut
donc pas retrouver la volatilit´e locale de cette fa¸con. Et l’approche backward
qui correspond `a l’utilisation de l’EDP de Black-Scholes et Merton ne permet
pas de conclure. Il faut donc trouver un autre point de d´epart.
La seconde id´ee de Dupire est de se servir de l’´equation de Fokker-Planck.
On appelle ´equation de Fokker-Planck (ou Kolmogorov forward) l’EDP v´erifi´ee
par la fonction de densit´e associ´ee `a une diffusion. Dans notre cas la fonction
de densit´e est f: (x, T )7−→ f(x, T ) = φT(x) et l’´equation s’´ecrit
∂f
∂T +µ∂ ∂x (xf)−1 2
∂2
∂x2x2σ2(x, T )f= 0
f(x, t) = δ(St−x)sur [0,+∞]×[t, +∞]
O`u δest la fonction delta de Dirac qui permet de d´efinir la condition initiale
sur la densit´e. En effet, si on se place `a l’instant initial t,Stest connu et on a
f(x, t) = δ(St−x)
Cette ´equation est un r´esultat fondamental de la th´eorie des processus et
sa d´emonstration est hors de propos ici. Notons n´eanmoins que dans un cadre
financier une ´el´egante preuve est possible en utilisant l’EDP de Black-Scholes
et Merton.
En combinant cette ´equation avec la formule de Breeden-Litzenberger (2.3)
on obtient une ´equation forward portant sur le prix des calls. Cette ´equation est
appel´ee ´equation de Dupire :
(∂C
∂T =1 2σ2(K, T )K2∂2C ∂K2+µ(T)C−K∂C ∂K 
C(K, t)=(St−K)+sur [0,+∞]×[t, +∞]
O`u C=C(K, T ) est un prix de call non actualis´e c’est-`a-dire
C(K, T ) = EQh(ST−K)+i
Preuve. Voir annexe (A)
Il s’agit bien d’une ´equation forward qui se r´esout dans l’espace (K, T ) en
partant de tet portant sur l’ensemble des prix des calls, les conditions initiales
(St, t) ´etant fix´ees. La preuve repose sur une int´egration de l’´equation de Fokker-
Planck dans laquelle on remplace fpar son expression en fonction de ∂2C
∂K2.
Enfin, de l’´equation de Dupire, on d´eduit l’unique fonction de volatilit´e locale
compatible avec les prix de march´e (coefficient de diffusion implicite). C’est la
formule de Dupire.
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