Cours de Mathématiques 1 Bac Science Expérimental : Exercices et Devoirs

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Cours de mathématiques : 1 Bac science expérimental
Les exercices et les devoirs
Réalisé par : Younes AIT IDDIR
1 Bac science expérimental Page 1 Pr. Ait iddir Younes

TABLE DES MATIÈRES
1 La logique 6
1.1 Proposition - fonction propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Proposition(Assertion).................................. 6
1.1.2 Fonction propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Lesquantificateurs ........................................ 7
1.2.1 Le quantificateur existentielle ("∃") ........................... 7
1.2.2 Le quantificateur universel ("∀")............................. 7
1.2.3 Proposition avec plusieurs quantifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Opérations sur les propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 La négation d’une proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Conjonction de deux propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 La disjonction de deux propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4 Implication de deux propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.5 Équivalence de deux propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Les lois logiques et méthode de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Raisonnement par déduction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Raisonnement par contra-posé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 Raisonnement par équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.4 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.5 Raisonnement par disjonction des cas : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.6 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.7 La série des exercices 1 : ................................. 15
2 Généralité sur les fonctions 17
2.1 Rappels: ............................................. 17
2.1.1 L’ensemble de définition d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Fonction majorée - Fonction minorée - Fonction bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Extremumsd’unefonction .................................... 19
2.4 Fonctionpériodique........................................ 19
2.5 Comparaison de deux fonctions- interprétation géométrique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.1 Égalité de deux fonctions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.2 Comparaison de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.3 Activité: ......................................... 21
2.5.4 Définition......................................... 21
2.6 Image d’un intervalle par une fonction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Composédedeuxfonctions:................................... 22
2.8 Monotonied’unefonction: ................................... 23
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0TABLE DES MATIÈRES
2.8.1 Monotonie de la fonction f+k:(k∈R):........................ 23
2.8.2 Monotonie de la fonction k·f:(k∈R): ........................ 23
2.8.3 Monotonie de la composée de deux fonctions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.9 Représentation graphique des fonctions x7→ √x+aet x7→ ax3: ................ 24
2.9.1 La fonction x7→ ax3où a∈R∗:............................. 25
2.9.2 La série des exercice 2 : ................................. 26
2.9.3 Devoir libre 1 S1..................................... 29
2.9.4 Devoir surveillé 1 S1................................... 32
3 LE BARYCENTRE DANS LE PLAN 33
3.1 Barycentre de deux points pondérés : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Pointpondéré:...................................... 33
3.1.2 Barycentre de deux points pondérés : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.3 Propriété de barycentre de deux points : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.4 Coordonnées du barycentre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Barycentre de trois points pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Propriétéetdéfinition: ................................. 36
3.2.2 Propriété caractéristique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3 Associativité du barycentre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.4 Coordonnées du barycentre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Barycentre de quatre points pondérés : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Propriétéetdéfinition: ................................. 37
3.3.2 Propriété caractéristique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.3 Associativité du barycentre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.4 Le série des exercices 3 : ................................. 39
4 LES SUITES NUMÉRIQUES 41
4.1 Généralité sur les suites numériques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.1 Activité:......................................... 41
4.1.2 Définition:........................................ 41
4.1.3 Deux façon de définir une suite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Suites majorées - suites minorées - suites bornées : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.1 Activité:......................................... 43
4.2.2 Définition:........................................ 43
4.3 Monotonied’unesuite: ..................................... 43
4.4 Suite arithmétique - suite géométrique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4.1 Suitearithmétique: ................................... 44
4.4.2 Suitegéométrique:.................................... 45
4.4.3 Le série des exercices 4 : ................................ 47
4.4.4 Devoir libre 2 S1..................................... 49
4.4.5 Devoir surveiller 2 S1.................................. 50
5 Produit scalaire dans le plan 51
5.1 Expression analytique du produit scalaire dans le plan : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.1 Rappel (Formule trigonométrique du produit scalaire) : . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.2 Repère orthonormé direct : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.3 Expression analytique du produit scalaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.4 Norme d’un vecteur - distance entre deux points : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.5 Expression de cos(θ)et sin(θ).............................. 52
5.2 Droite dans le plan (Étude analytique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.1 Vecteur normal à une droite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.2 Équation d’une droite définie par un point et un vecteur normal . . . . . . . . . . . . 53
5.2.3 Distance d’un point à une droite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 Équation cartésienne d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
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0TABLE DES MATIÈRES
5.3.1 Équation d’un cercle définie par son centre et son rayon . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.2 Équation d’un cercle définie par son diamètre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.3 Représentation paramétrique d’un cercle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.4 Études de l’ensemble des points M(x ;y) du plan tels que : x2+y2+ax +by +c=0 . 55
5.3.5 Intérieur et extérieur d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.6 Les positions relatives d’une droite et d’un cercle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.7 Équation cartésienne d’une droite tangente à un cercle en un point donné de ce cercle : 58
5.3.8 La série des exercices 5 : ................................ 58
6 Calcul trigonométrique 59
6.1 Rappel:.............................................. 59
6.1.1 Équations et inéquations trigonométriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 Les formules trigonométriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 Transformation de produits en sommes et de sommes en produits : . . . . . . . . . . . . . . 61
6.4 Transformationdetan(a+b) ................................... 62
6.5 Transformation de l’expression : acos(x) + bsin(x)....................... 63
6.6 Résolution de l’équation : acos(x) + bsin(x) = c:........................ 64
6.6.1 La série des exercices 6 ................................. 66
6.6.2 Devoir libre 3 S1..................................... 68
6.6.3 Devoir surveiller 3 S1.................................. 68
7 La rotation dans le plan 70
7.1 Rotation et rotation réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.1.1 Rotation:......................................... 70
7.1.2 Rotation réciproque d’une rotation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2 Propriétésdelarotation:..................................... 71
7.3 Image de certaines figures par une rotation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8 La limite d’une fonction numérique 73
8.1 Limite infinie d’une fonction en +∞ou en −∞......................... 73
8.1.1 Activité: ......................................... 73
8.1.2 Limitesusuelles:..................................... 73
8.2 Limite finie d’une fonction en +∞et en −∞........................... 74
8.2.1 Activité: ......................................... 74
8.3 Limite finie et limite infinie d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.3.1 Limite finie d’une fonction en un point : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.3.2 Limite infinie d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.4 Limite à droite et limite à gauche d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.5 Opérationssurleslimites: .................................... 77
8.5.1 Limite d’une fonction polynôme- limite d’une fonction rationnelle : . . . . . . . . . . 78
8.5.2 Limites des fonctions irrationnelles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.5.3 Limites des fonctions trigonométriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.5.4 Théorème de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.5.5 La série des exercices 8 : ................................ 81
8.5.6 Devoir libre 1 S2..................................... 83
9 La dérivation d’une fonction numérique 90
9.1 La dérivabilité d’une fonction en un point : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.1.1 Lenombredérivé:.................................... 90
9.1.2 Interprétation géométrique du nombre dérivé -La tangent à la courbe en un point . . . 91
9.1.3 Approximation d’une fonction dérivable en un point par une fonction affine : . . . . . 92
9.2 Dérivabilité à droite - dérivabilité à gauche : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.2.1 Interprétation géométrique - Demi droite tangente en un point de la courbe : . . . . . 92
9.3 La fonction dérivé d’une fonction dérivable : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
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0TABLE DES MATIÈRES
9.3.1 La fonction dérivée seconde - la fonction dérivée d’ordre n: .............. 94
9.3.2 Fonction dérivée des fonctions usuelles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.3.3 Opérations sur les fonctions dérivables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.4 Applications de la dérivation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.4.1 Monotonie d’une fonction et signe de sa fonction dérivée : . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.4.2 Extremums d’une fonction dérivable : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.5 Équations différentielle : y00 +w2y=0.............................. 99
10 Représentation graphique d’une fonction 105
10.1 Concavité d’une courbe - points d’inflexions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.1.1 Concavité d’une courbe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.1.2 Pointd’inflexion ..................................... 106
10.1.3 Concavité et dérivée seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.2 Lesasymptotes: ......................................... 107
10.2.1 Asymptotes verticales : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.2.2 Asymptotes horizontales : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10.2.3 Asymptoteoblique:................................... 109
10.3 Branchesparaboliques: ..................................... 110
10.3.1 Branche parabolique de direction l’axe des abscisses : . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
10.3.2 Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées : . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.3.3 Branche parabolique de direction la droite d’équation y=ax où a6=0: ........ 112
10.4 Axe de symétrie - Centre de symétrie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.5 Plan d’étude d’une fonction : (P-244) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.6 Exercices corrigés ........................................ 118
11 Vecteurs de l’espace 126
11.1 Égalité de deux vecteurs - Somme de deux vecteurs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.1.1 Éléments caractéristiques d’un vecteur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.1.2 Somme de deux vecteurs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.2 Colinéarité de deux vecteurs - Définition vectorielle d’une droite : . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.2.1 Multiplication d’un vecteur par un réel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.2.2 Colinéarité de deux vecteurs - alignement de trois points : . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.2.3 Définition vectorielle d’une droite de l’espace : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.3 Définition vectorielle d’un plan - Les vecteurs coplanaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
11.3.1 Définition vectorielle d’un plan : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
11.3.2 Vecteurscoplanaires: .................................. 130
12 Géométrie analytique dans l’espace 132
12.1 Coordonnées d’un point dans un repère - Coordonnées d’un vecteur dans une base : . . . . . 132
12.1.1 Base et repère dans l’espace : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.1.2 Coordonnées de u+v et λuet −→ AB et le milieu d’un segment : . . . . . . . . . . . . . . 133
12.2 Déterminant de trois vecteurs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.2.1 Condition de colinéarité de deux vecteurs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.2.2 Vecteurscoplanaires................................... 133
12.3 Représentation paramétrique d’une droite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.3.1 Deux équations cartésiennes d’une droite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.4 Représentation paramétrique d’un plan - Équation cartésienne d’un plan : . . . . . . . . . . . 135
12.4.1 Représentation paramétrique d’un plan : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.4.2 Équation cartésienne d’un plan : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.5 Les positions relatives des droites et des plans dans l’espace : . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
12.5.1 Positions relatives de deux droites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
12.5.2 Positions relatives de deux plans : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
12.5.3 Position relatives d’une droite et un plan : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
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