Exercices Processus de Markov et Files d'attente - ESATIC 2024/2025

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ESATIC, Master 1 INFO, RTEL, MBDS, BIHAR
ECUE : Processus de Markov et files d’attente
Année Académique
2024 / 2025
TRAVAUX DIRIGES
Files d’attente
Exercice 1.
Soit la file d’attente M/M/2/3avec λ= 2µ.
1. Donner le diagramme de transition de ce système.
2. En déduire sa matrice génératrice.
3. Déterminer les équations d’équilibre de ce système.
4. Déterminer la distribution stationnaire πpuis en déduire le nombre moyen de clients dans le
système.
Exercice 2.
1. Une station service comporte une seule pompe à essence. Des voitures arrivent selon un processus
de Poisson de taux 20 voitures par heure. Le temps de service suit une loi exponentielle d’espérance
2 minutes.
(a) Donner la probabilité qu’il ait au maximum deux voitures dans la station.
(b) Déterminer le temps d’attente moyen avant d’être servi puis le temps de séjour total.
(c) Quelle proportion des voitures doit attendre avant de pouvoir faire le plein ?
(d) Quelle est la probabilité qu’une voiture attende plus de 2 minutes dans la station service ?
2. On suppose maintenant que tout conducteur trouvant 2 voitures dans la station repart aussitôt.
(a) Donner la distribution stationnaire du nombre de voitures dans la station.
(b) Quelle est la probabilité qu’une voiture reparte sans faire le plein ?
(c) Déterminer le temps d’attente et le temps de séjour moyens.
Exercice 3.
Considérons une banque avec deux guichets. Il arrive en moyenne 80 clients par heure. Le temps de
service moyen est quant à lui égal à 1.2 minute. Nous supposons que les interarrivées des clients ainsi
que les temps de services sont exponentielles.
1. Déterminer le nombre moyen de clients dans la banque.
2. Déterminer le temps de séjour moyen d’un client dans la banque.
3. Déterminer le nombre moyen de guichets occupés.
4. Déterminer la probabilité que tous les serveurs soient occupés.
5. Déterminer le temps moyen d’attente d’un client dans la banque.

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Exercice 4.
Un hypermarché possède un parking dont la capacité de stationnement est très élevée. Les voitures
arrivent à cet hypermarché selon un processus de Poisson de taux 3 voitures/min et on considère qu’en
moyenne une voiture reste garée 50 min, ce temps est supposé distribué exponentiellement. Chaque
voiture qui entre paye une somme forfaitaire de 500 FCFA.
1. Quel est le type de la file d’attente considérée ?
2. Déterminer la probabilité qu’il n’ait aucune voiture dans le parking.
3. Pour une journée de 12heures, combien rapporte en moyenne le parking à l’hypermarché ?
4. Déterminer le nombre moyen de voitures dans le parking.
5. Combien attend en moyenne une voiture avant de stationner ?
Exercice 5.
Une compagnie aérienne envisage d’ouvrir un point de vente dans un nouveau centre commercial. Elle
compte y faire travailler un agent qui sera responsable des réservations et de la vente des billets. On
prévoit un achalandage de 15 clients à l’heure en moyenne ; on estime aussi que la distribution des
arrivées peut être calculée selon la loi de Poisson et que le temps de service sera de 3 min en moyenne
par client (distribution exponentielle). Déterminer les mesures de performances suivantes :
1. Taux d’utilisation du système.
2. Pourcentage d’inactivité de l’agent.
3. Nombre moyen de clients qui attendent pour être servis.
4. Temps moyen passé par un client dans le système.
Exercice 6.
En fin de mois, des clients se présentent aux guichets de la poste d’Abidjan à raison de 12 clients en
moyenne par heure. On compte en moyenne 5 clients dans le bureau de poste, soit en train d’attendre
leur tour, soit en train de se faire servir à l’un des deux guichets disponibles. Quel est le temps moyen,
en minutes, passé par un client dans le bureau de poste ?
Exercice 7.
Un organisme public est ouvert chaque jour ouvrable de 9h à 17h sans interruption. Il acceuille en
moyenne 64 usagers par jour ; un guichet unique sert à traiter le dossier de chaque usager, ceci en un
temps moyen de 2,5 mn. Les usagers si necessaire, font la queue dans l’odre de leur arrivée ; même si
la queue est improtante, on ne refuse aucun usager. Une étude statistique a permis de conclure que la
durée aléatoire des services suit la loi exponentielle et que le régime des arrivées des usagers forment
un processus de Poisson.
1. Donner la notation de Kendall de cette file.
2. Donner l’expression de la probabilité invariante πk, donner la justification de son existence.
3. Quels sont les temps moyens passés : à attendre ? dans l’organisme par chaque usager ?
4. Quelles sont les probabilités qu’il n’arrive aucun client entre 15h et 16h ? Que 6 clients arrivent
entre 16h et 17h ?
5. Quelle est en moyenne et par heure, la durée pendant laquelle l’employé du guichet ne s’occupe
pas des usagers ?

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6. Quelle est la probabilité d’observer une fille d’attente de 4 usagers derrière celui en cours de
service ?
Exercice 8.
Un centre d’urgences contient en permanence deux médecins. A l’arrivée d’un patient, il est aussitôt pris
en charge par un médecin, si au moins l’un des deux est disponible. La durée aléatoire d’une consultation
suit une loi exponentielle de paramètre µ. Si les deux médecins sont occupés, le patient attend dans une
salle d’attente qui ne peut contenir que trois patients. Ainsi, si la salle d’attente est pleine, le patient est
dirigé vers un autre centre. Les patients arrivent au centre suivant un processus de Poisson de paramètre
λ.
1. Modéliser le fonctionnement de ce centre comme un processus de naissance et de mort. Dessiner
son graphe représentatif et donner sa notation de Kendall.
2. Ce processus est-il ergodique ? Justifier la réponse.
3. Supposons avoir atteint le régime stationnaire. Notons π?
0la probabilité qu’il n’y ait aucun patient
dans le centre. Exprimer la probabilité qu’il y ait kpatients dans le centre en fonction de π?
0, λ, µ.
Supposons dorénavant que λ=µ.
4. Vérifier que π?
0= 16/47.
5. Calculer le nombre moyen de patients dans le centre.
6. Calculer le nombre moyen de médecins occupés.
7. Quel est le nombre moyen par heure de patients qui sont dirigés vers d’autres centres sachant que
le nompbre d’arrivées est de 8 par heure ?
Exercice 9.
On considère un système M/M/1 où des usagers arrivent de taux variable proportionnel à l’inverse du
nombre d’usagers dans le système : λk=α/(1 + k), α > 0. Le taux de service est µ > 0.
1. Montrer que le système est ergodique. Ecrire πken fonction de π0et déduire que la distribution
sationnaire est une distribution de Poisson.
2. Trouver le nombre moyen d’usagers dans le système. Trouver la longueur moyenne de la file d’at-
tente.
3. Trouver la taux moyen d’arrivée et en déduire, par la formule de Little, le temps moyen passé par
usagé dans le système.
Exercice 10.
Des camions arrivent dans une station service pour passer des tests de sécurité, suivant un processus de
Poisson de taux de 6/ jour. La durée des tests pour chaque camoin est une variable aléatoire exponen-
tielle d’espérance mathématique de 1h30mn. On suppose que le processus d’arrivée ne s’interrompt pas
et que la station travaille 24h sur 24.
Le système admet-il une distribution stationnaire ? Si oui la calculer et donner le nombre moyen d’usa-
gers dans le système, le temps moyen passé dans le système, la longueur moyenne de la file d’attente et
le temps moyen passé dans la file (en régime stationnaire).

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Exercice 11.
Deux lignes téléphoniques sont mises à la disposition des clients qui passent des commandes. Lorsque
les deux lignes sont occupées les appels restent en file et dès qu’une ligne est libérée le premier entre en
contact. On suppose que les appels arrivent suivant le processus de Poisson de taux de 30 à l’heure et
l’on retient l’hypothèse que la durée de la commande est une variable aléatoire exponentielle de durée
moyenne 3mn.
1. Dessiner le diagramme de transition. Le système ets-il ergodique ? si oui trouver la distribution
stationnaire.
2. Trouver le nombre moyen d’appels branchés, le nombre moyen d’appels en attente, la durée
moyenne de temps passé par usager et la durée d’attente pour avoir une conversation en régime
stationnaire.
3. Quelle est la portion de temps où les deux lignes sont occupées ?
Exercice 12.
Dans une entreprise de service, où les usagers arrivent suivant un processus de Poisson de taux λ > 0,
la direction a le choix entre 3 modèles suivants.
A. Installation d’un serveur dont la durée de service suit une loi exponentielle de paramètre 2µ.
B. Installation de 2 serveurs séparés et identiques, chacun admettant une durée de service suivant une
loi exponentielle de paramètre µ. Tout usager venant d’arriver, choisit, avec la probabilité 1/2l’un des
serveurs et il n’y a pas d’échange d’usagers potentiels chez les serveurs.
C. Installation de deux serveurs (identique au modèle B) non séparés. Dès que l’un des serveurs est
libre, s’il y a des usagers en attente le premier arrivé se fait servir chez le serveur libéré.
On suppose λ/2µ < 1.
1. Calculer le temps moyen passé dans le système. lequel des 3 systèmes est le plus performant ?
2. Peut-on répondre à la question précédente sans faire le calcul de ¯ T?