Cours Structures Algébriques et Arithmétique - Lycée Moulay Youssef MP*

Lycée Moulay Youssef
Cours
Structures
algébriqes et
arithmétiqe
Classe MP*

Table des matières
1 Les groupes 6
I Structure de groupe .......................... 6
1 les groupes .......................... 6
2 les sous-groupes ....................... 8
3 Groupe produit ........................ 9
4 Les morphismes de groupes ................. 9
5 Exercices d’approfondissements ............... 11
II Ordre d’un élément d’un groupe ................... 12
1 Exercices d’approfondissement ............... 15
III Groupes cycliques ........................... 16
1 Exercices d’approfondissement ............... 17
IV Partie génératrice d’un groupe .................... 18
1 Exercices d’approfondissement ............... 18
2 Les anneaux 20
I La structure d’anneau ......................... 20
1 Les anneaux et les corps ................... 20
2 Les sous-anneaux ....................... 22
3 Les morphismes d’anneaux ................. 24
4 Les algèbres .......................... 25
5 Identités remarquables .................... 26
6 Exercices d’approfondissement ............... 26
II L’anneau Z/𝑛Z............................. 28
1 Exercices d’approfondissement ............... 31
III Idéaux d’un anneau intègre ...................... 32
1 La notion d’idéal ....................... 32
2 Arithmétique élémentaire dans un anneau intègre .... 33
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Cours Table des matières
3 Arithmétique dans K[𝑋]37
I L’anneau K[𝑋]............................ 38
1 Structures de K[𝑋]...................... 38
2 Les idéaux dans K[𝑋].................... 38
II PGCD et PPCM de deux polynômes ................. 39
1 PGCD d’une famille nie de polynômes .......... 40
2 Polynômes irréductibles ................... 41
3 Exercices d’approfondissement ............... 43
III Racines et multiplicités ........................ 44
1 Racines d’un polynôme ................... 44
2 Polynômes scindés ...................... 45
3 Factorisation dans C[𝑋]et dans R[𝑋]........... 46
4 Exercices d’approfondissements ............... 47
Liste des résultats remarquables
1.3 Théorème : Sous-groupes de (Z,+) .................. 8
1.6 Exercice : théorème de Lagrange général .............. 11
1.9 Théorème : caractérisation de l’ordre ................ 13
1.11 Théorème : théorème de Lagrange .................. 14
1.12 Exercice : ordre d’une permutation ................. 15
1.12 Théorème : générateurs d’un groupe cyclique ........... 16
1.18 Exercice : exemples de parties génératrices de S
𝑛......... 18
2.9 Théorème : théorème d’Euler ..................... 30
2.10 Théorème : théorème chinois ..................... 30
2.12 Corollaire : expression de l’indicatrice d’Euler ........... 30
2.11 Exercice : theorème de Wilson .................... 31
2.17 Théorème : idéaux de Z........................ 33
3.2 Théorème : Idéaux de K[𝑋]..................... 39
3.3 Théorème et dénition : dénition du pgcd ............. 39
3.7 Théorème : théorème de Bezout dans K[𝑋]............. 40
3.8 Théorème : théorème de Gauss dans K[𝑋]............. 40
3.9 Théorème : Théorème d’Euclide dans K[𝑋]............. 40
3.11 Théorème : théorème de Bezout ................... 41
3.13 Théorème : theorème fondamental de l’arithmétique ........ 42
3.3 Exercice : indépendance du corps de base .............. 43
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Cours Table des matières
3.18 Théorème : formule de Taylor pour les polynômes ......... 44
3.20 Proposition : relations entre coecients et racines d’un polynôme
scindé .................................. 45
3.21 Théorème : théorème fondamental de l’algèbre ........... 46
3.6 Exercice : technique de recherche de racines rationnelles ..... 47
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chapitre 1
Les groupes
Rappels
1.1.1 Soit 𝐸 un ensemble non vide. On appelle loi de composition interne (ou
lci) dans 𝐸toute application dénie de 𝐸×𝐸dans 𝐸.
Si 𝑓 est une lci, il est d’usage de ne pas représenter l’image d’un couple (𝑥, 𝑦)
par 𝑓(𝑥, 𝑦)mais d’utiliser une notation comme 𝑥∗𝑦.
1.1.2 Si ∗ est une lci de 𝐸 et 𝐹 est une partie de 𝐸 , on dit que 𝐹 est stable
pour la loi ∗si : ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐹2, 𝑥 ∗𝑦∈𝐹
1.1.3 Soient deux ensembles 𝐸 et 𝐸0 munit respectivement des lois ∗ et .
Alors on peut dénir su 𝐸×𝐸0la loi, dite loi produit de ∗et , par
∀(𝑥, 𝑥 0) ∈ 𝐸×𝐸0,∀(𝑦, 𝑦0) ∈ 𝐸×𝐸0,(𝑥, 𝑥 0)•(𝑦, 𝑦 0)=(𝑥∗𝑦, 𝑥 0𝑦0)
I
Structure de groupe
I.1 les groupes
Définition 1.1
On appelle groupe tout couple (𝐺, ∗) où 𝐺 est un ensemble non vide et ∗ est
une loi de composition interne dans 𝐺tels que
i. ∗est associative : ∀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐺3, 𝑥 ∗ (𝑦∗𝑧)=(𝑥∗𝑦) ∗ 𝑧;
ii. ∗admet un élément neutre : ∃e∈𝐺;∀𝑥∈𝐺, 𝑥 ∗e=e∗𝑥=𝑥;
iii. tout élément de 𝐺est symétrisable : ∀𝑥∈𝐺∃𝑦∈𝐺;𝑥∗𝑦=𝑦∗𝑥=e.
Par ailleurs, si (𝐺, ∗) est un groupe il est dit abélien si seulement si ∗ est
commutative : ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐺2, 𝑥 ∗𝑦=𝑦∗𝑥.
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