Cours de mathématiques supérieures Lycée Henri IV

Cours de Math´ematiques Sup´erieures
Lyc´ee Henri IV
3e´edition
Serge Francinou
1994-2007

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Partie A
Structures fondamentales

Chapitre 1
El´ements de th´eorie des ensembles
Les Math´ematiques reposent surl’´etude d’objets correspondant `a une superposition de concepts.
Le math´ematicien formule des assertions sur ces objets. Il s’agit de rechercher les assertions vraies
et int´eressantes.
Toute th´eorie math´ematique repose au d´epart sur des notions intuitives : c’est notamment le cas
pour la notion d’ensemble et la relation d’appartenance (∈). Outre ces objets intuitifs, on renonce
`a toute v´erit´e absolue i.e. on admet avant toute chose un certain nombre d’assertion apriori :ce
sont les axiomes. La donn´ee de ces axiomes constituent une th´eorie (on en verra quelques uns dans
le chapitre II.). A l’aide de ces axiomes, et plus g´en´eralement de toute assertions vraies, et d’un
raisonnement logique (dont les r`egles seront vues dans le chapitre I.), on peut tenter de d´emontrer
qu’une assertion est vraie (ou fausse). Ces r´esultats sont appel´es le plus souvent :
•th´eor`eme ;
•proposition (r´esultat plus faible qu’un th´eor`eme) ;
•corollaire (cons´equence assez imm´ediate d’une proposition ou d’un th´eor`eme ) ;
•lemme (r´esultat interm´ediaire dans la d´emonstration d’un th´eor`eme ou d’une proposition).
Il existe des assertions dont on ne peut d´emontrer si elles sont vraies ou fausses : elles sont dites
ind´ecidables. Si une proposition est `alafois vraie et fausse dans une th´eorie donn´ee, cette th´eorie
est dite contradictoire. Ces th´eories pr´esentent peu d’int´erˆet.
I. El´ements de logique
On supposera dans toute la suite que l’on travaille dans une th´eorie non contradictoire.
1) D´efinitions, g´en´eralit´es :
R`egle 1 A toute assertion A,onassocie une assertion appel´ee non A: non Aest vraie si Aest
fausse ; non Aest fausse si Aest vraie.
R`egle 2 A deux assertions Aet B,onassocie une assertion (Aou B)qui est vraie si l’une des
assertions Aet Best vraie et fausse sinon.
Exemple : (Aou non A) est toujours vraie : c’est une tautologie.
R`egle 3 A deux assertions Aet B,onassocie une assertion (Aet B)qui est vraie si les deux
assertions Aet Bsont vraies et fausse sinon.
R`egle 4 Soient Aet Bdeux assertions. On note (A=⇒B)pour (non Aou B)et on l’appelle A
implique B.