Énergie électrostatique : Cours complet

I. Travail de la force électrostatique
Soit une charge ponctuelle q placée dans un champ électrostatique prenant la valeur
E
au
point M où est la charge. Celle-ci est soumise à une force électrostatique
  EqF
.
Le travail élémentaire de la force
F
au cours d’un déplacement élémentaire
 dlMM'
de la
charge est :
)( VqddVqdlVgradqdlEqdlF 
Lorsque la charge se déplace de A à B, le travail total est :
   B
AAB
B
A
AB VVqdVq)(
II. Energie Potentielle d’interaction électrostatique
Le travail de la force électrostatique ne dépend pas du chemin suivi, elle dérive donc d’une
énergie potentielle électrostatique W telle que :
ddW 
Ce qui donne
teconsVqWdVqdW tan
On prendra W = 0 à l’infini s’il n’y a pas de charges à l’infini. Dans ce cas, d’après la
convention du potentiel coulombien, V = 0 à l’infini. D’où W = q.V
Remarque :
 Lorsque le déplacement s’effectue sur un contour
AB
:
AB
BA dlEVV .
est la circulation de
E
sur le contour.
 Sur un contour fermé, la circulation = 0.
II.1 Energie potentielle électrostatique d’interaction de deux charges ponctuelles
Considérons une charge q1 placée en M1 sous l’action du potentiel V2(en M1) crée par une
autre charge q2 placée en M2. Posons M1M2 = r
L’énergie potentielle électrostatique est :
)(
2
1
)(
44
)( 1221212
0
1
2
0
2
1121 VqVqMVq
r
q
q
r
q
qMVqW  
II.2 Energie potentielle électrostatique d’un dipôle placé dans un champ
E
L’énergie électrostatique du dipôle est donnée par la relation :
CHAPITRE IV : ENERGIE ELECTROSTATIQUE

)(
dipôle ABAB VVqVqVqW 
Or :
  dlEdlVgraddV
B
A
B
A
B
A
B
A
BA ABEaEdlEdlEdlEdVVV
coscoscos
D’où :
  EPABEqVVqW AB )(
dipôle
II.2 Energie potentielle électrostatique de n charges ponctuelles
Pour une charge qi placée en Mi sous l’action du potentiel Vi créé en Mi par toutes les charges
sauf qi, son énergie potentielle électrostatique est qiVi. Pour l’ensemble des charges, l’énergie
potentielle électrostatique sera :
iii VqW 2
1
II.2 Energie potentielle électrostatique d’une distribution continue de charges
On se ramène à un ensemble de charges ponctuelles en divisant la charge totale en charges
élémentaires dq :
 Cas d’une distribution volumique :
  dvVWdvdq
2
1
 Cas d’une distribution surfacique :
  dSVWdSdq
2
1
 Cas d’une distribution linéique :
 dlVWdldq
2
1
V étant le potentiel créé par toutes les charges de la distribution au point où se trouve la
charge élémentaire dq
Remarque :
VVgradE  
 E
est le rotationnel du vecteur
E
et s’écrit
 Erot
C’est un vecteur qui est donné par le déterminant :

x y z
i j k
Ex y z
E E E
k
y
E
x
E
j
x
E
z
E
i
z
E
y
E
Erot x
y
z
x
y
z
 0Erot
(Le champ dérive du potentiel)