DimensionnementStructures Legay

Dimensionnement des
structures
Antoine Legay
Maître de conférence
2012-2013
Cnam-Paris

Table des matières
I Sollicitations simples sur les poutres •••••••••••••••• 1
I.1 Hypothèses de poutre 1
I.2 Poutre dans son environnement 3
I.3 Torseur de cohésion 4
I.3.1 Définition 4
I.3.2 Détermination 4
I.3.3 Classification des sollicitations 5
I.4 Traction 6
I.4.1 Torseur de cohésion 6
I.4.2 Contrainte normale 6
I.4.3 Allongement et déformations 7
I.4.4 Relation contrainte-déformation 7
I.4.5 Déplacement 8
I.4.6 Relation entre effort normal et chargement 8
I.5 Torsion 9
I.5.1 Torseur de cohésion 9
I.5.2 Moment quadratique polaire de la section 10
I.5.3 Contrainte tangentielle 10
I.5.4 Déformation et rotation des sections 11
I.5.5 Relation contrainte-déformation 12
I.5.6 Relation entre moment de torsion et chargement 12
I.6 Flexion 12
I.6.1 Torseur de cohésion 12
I.6.2 Moment quadratique de section 13
I.6.3 Contrainte normale 14
I.6.4 Déplacement 15
I.6.5 Relation contrainte-déformation 15

ii
I.6.6 Relations moment de flexion - effort tranchant - chargement 16
II Calcul de treillis ••••••••••••••••••••••••••19
II.1 Hypothèses et critères de dimensionnement 19
II.1.1 Hypothèses sur les liaisons 19
II.1.2 Règles de construction d’un treillis 20
II.1.3 Critère de dimensionnement 22
II.2 Méthode des nœuds 22
II.3 Flambage des poutres droites 22
II.3.1 Introduction 22
II.3.2 Charge critique de flambage 23
II.3.3 Critère de dimensionnement 25
II.3.4 Autres conditions aux limites 25
III Contraintes et déformations ••••••••••••••••••••27
III.1 Introduction 27
III.2 Caractérisation des contraintes et des déformations tridimensionnelles 28
III.2.1 Opérateur des contraintes et des déformations 30
III.2.2 Théorème de superposition 31
III.3 Problème plan 31
III.3.1 Hypothèses 31
III.3.2 Etat de contraintes planes 32
III.3.3 Expressions des contraintes subies par un carré non aligné avec xet y33
III.3.4 Expressions des déformations d’un carré non aligné avec xet y35
III.3.5 Relation entre les contraintes et les déformations d’un carré non aligné avec xet y36
III.3.6 Directions principales 36
III.3.7 Cercle de Mohr des contraintes 37
IV Critères de dimensionnement •••••••••••••••••••41
IV.1 Objectifs 41
IV.2 Matériaux ductiles : critère de Tresca 41
IV.3 Matériaux ductiles : critère de Von Mises 43
IV.4 Comparaison des critères de Tresca et de Von Mises 44
IV.5 Fatigue des matériaux 44
V Initiation au calcul éléments finis •••••••••••••••••47
V.1 Etude de l’élément de barre 47
V.1.1 Equilibre de l’élément barre 47
V.1.2 Exemple d’application 49
V.1.3 Remarques sur la méthode des éléments finis 49
V.2 Etude de deux barres 49
V.2.1 Assemblage des matrices de rigidité élémentaires 49
V.2.2 Mise en œuvre pratique 51
V.3 Elément barre pour le calcul des treillis 52
V.4 Elément de poutre pour le calcul des portiques 54
VI Moyens expérimentaux ••••••••••••••••••••••57
VI.1 Jauges de déformation 57
VI.1.1 Principe 57
VI.1.2 Pont de Wheatstone 58

iii
VI.1.3 Utilisation du boitier 60
VI.1.4 Différents montages 60
VI.1.5 Capteurs à jauges 62
VI.1.6 Exploitation d’une rosette de 3 jauges à 45o62
VI.2 Photoélasticité 63
VI.2.1 Principes 63
VI.2.2 Mise en équation 66
VI.2.3 Réseaux de courbes caractéristiques 68