Intégrales de Fresnel et Transformation de Fourier : Exercices

MP 2024-2025
DM7 bleu outremer
Intégrales de Fresnel
Transformation DE FOURIER
Pour toute fonction fcontinue intégrable sur R, on définit la fonction, notée F(f)ou ˆ fet appelée transformée de Fourier de f,
définie sur Rpar
ˆ
f(x) = Z+∞
−∞
f(t)e−itx dt.
(Parfois, un préfacteur 1/√2πapparaît dans la définition, afin de simplifier l’expression de la transformée de Fourier inverse.)
I Introduction à la transformation de Fourier
I. 1 Propriétés élémentaires
1On note L1l’espace vectoriel des fonctions continues et intégrables sur R. Soit f∈L1. Montrer que ˆ fest bornée sur Ret
que
∀x∈R|ˆ f(x)|6c |f|(0).
2Que peut-on dire de ˆ florsque fest paire (resp. impaire) ?
3.a Transformée de Fourier de la translatée et de la déphasée - Soit a∈R. On définit τaf:x7→ f(x−a). Comparer d τafet ˆ f.
On définit ϕa(f) : x7→ f(x)eiax. Comparer b het ˆ f.
3.b Transformée de Fourier de la transposée — On définit ˜ f:x7→ f(−x). Comparer ˆ
˜
fet ˆ f.
3.c Transformée de Fourier de la dilatée - Soit a∈R∗. On pose da(f) : x7→ f(ax). Comparer
\
da(f)et ˆ f.
4Transformée de Fourier et dérivation
4.a On suppose que f∈L1est de classe C1et que f0∈L1. Montrer que fadmet une limite nulle en ±∞. En déduire que la
transformée de Fourier de f0est la fonction définie par b f0:x7→ ixˆ f(x). En déduire que limx→±∞ ˆ f(x) = 0 (théorème de
Riemann-Lebesgue).
4.b On suppose que fet g:t7→ tf(t)sont toutes deux dans l’espace L1. Montrer que ˆ fest de classe C1et calculer sa dérivée
en fonction de bg.
5Compléter le tableau suivant, synthétisant les propriétés élémentaires démontrées :
Fonction Transformée de Fourier Fonction Transformée de Fourier
f(t)b f(x)f(t)eiat
f(t−a)f0(t)
f(at)tf(t)
I. 2 Application au calcul de la transformée de Fourier de x7→ 1
a2+x2
6On pose f:t7→ e−|t|. Calculer ˆ f(x)pour tout y∈R.
7D’après le théorème de convergence dominée, on sait que ˆ fest continue ; on admet que si, de plus, b fest intégrable, alors
∀t∈Rf(t) = 1
2πZ+∞
−∞
ˆ
f(x)eixt dx.
En déduire la transformée de Fourier de t7→ 1
1+t2ainsi que celle de t7→ 1 a2+t2(pour a∈R∗).
II La transformée de Fourier dans l’espace de Schwartz
- Dans toute la suite, on note E=C∞(R,C)et Bl’espace vectoriel des fonctions f:R→Cbornées.
- On définit l’espace de Schwartz Scomme le sous-ensemble de Eformé des fonctions ftelles que, pour tous les entiers k>0et
p>0, la fonction x7→ (1 + |t|)kf(p)(t)soit bornée.
- Pour tout a∈R, on note ea:t7→ eiat.
II. 1 L’espace Sde Schwartz
8Soit f∈E. Vérifier que f∈Ssi et seulement si, pour tous k, p ∈N,lim|t|→+∞|t|kf(p)(t)=0.
9Montrer que Sest un sous-espace vectoriel de E,
•stable par multiplication (si f, g ∈Salors fg ∈S) et par dérivation (si f∈S, alors f0∈S),
•stable par translation et dilatation (si f∈S, alors τa(f)et dans Spour tout a∈C, et da(f)est dans Spour tout
a∈R∗).
Montrer que g:t7→ e−t2/2est élément de S.
1

10 Soient f∈Set Pun polynôme. Montrer que t7→ P(t)f(p)(t)est élément de S.
11 Soit Pfnune série de fonctions de S. On suppose que, pour tout (k, p)∈N2, la série de fonctions de terme général
t7→ tkf(p)
n(t)converge uniformément sur R. Montrer que F := P∞
n=0 fnest élément de S.
II. 2 Transformation de Fourier dans S
Dans toute la suite, fsera toujours un élément de l’espace de Schwartz S.
12 Montrer que fest intégrable. (Cela permet de munir Sde la norme k·k1habituelle, définie par kfk1=R+∞
−∞ |f|.)
13 Montrer que F:f7→ ˆ fest linéaire, continue sur (S,k·k1)vers (B,k·k∞). Calculer sa norme subordonnée
kFk= sup
f∈P\{0}
kˆ fk∞
kfk1
.
14 Montrer que ˆ fest de classe C∞et exprimer sa dérivée à l’aide de F(t7→ tf(t)).
15 Calculer la transformée de Fourier de la fonction g:t7→ e−t2/2. On pourra, à l’aide de la question 14, faire apparaître une
équation différentielle vérifiée par ˆg.
16 Calculer Ff(k)pour tout f∈Set k∈N.
17 En déduire que ˆ fest encore élément de S.
II. 3 La formule d’inversion de Fourier On définit l’application Fpar
F(f)(x) = F(f)(−x) = Z+∞
−∞
f(t)eixt dt.
1.
18 Calculer F(F(g)).
19 Soit f∈Stelle que f(0) = 0. Montrer qu’il existe une fonction ϕ∈Ptelle que f(x) = xϕ(x)pour tout x∈R. On pourra
considérer la fonction x7→ R1
0f0(xt)dt.
20 En déduire que, si f(0) = 0, alors F(F(f))(0) = 0.
21 En déduire que, pour toute fonction f∈S,F(F(f))(0) = 2πf(0).
22 A l’aide de la question 3.a montrer que F(F(f)) = 2πf pour toute fonction f∈S, c’est-à-dire que l’on peut écrire
∀t∈Rf(t) = 1
2πZ+∞
−∞
ˆ
f(x)eixt dx.
2

correction
1 Soit y∈R. On a
|ˆ f(x)|6Z+∞
−∞ |f(t)|e−itx dt=Z+∞ −∞ |f(t)|dx=|ˆ
f|(0).
ˆ
fest bornée et |ˆ f|6|ˆ f|(0).
2 Supposons fpaire. On peut alors effectuer le changement de variable u=−t:
ˆ
f(x) = Z+∞
−∞
f(−u)eiux du=ˆ f(−y)
Si fest paire, alors ˆ fl’est aussi. De même, on montre que Si fest impaire, alors ˆ fl’est aussi.
3.a On trouve
∀y∈Rˆ h(y) = ˆ f(y−a)
3.b
∀y∈Rˆ
~
f(y) = ˆ f(−y).
3.c On effectue un changement de variable t=ax, en prenant soin de séparer les cas a > 0(immédiat) et a < 0(les bornes
s’échangent ! ! ! !) On trouve alors :
∀y∈R
\
da(f)(y) = 1
|a|ˆ
fx
a.
4. a Pour tout x∈R, on a f(x) = Rx
0f0(t)dt+f(0) ; la fonction f0étant intégrable, la fonction fadmet donc une limite en ±∞.
Si celle-ci était non nulle, alors fne serait pas intégrable. Ainsi
lim
x→±∞ f(x)=0
Calculons maintenant la transformée de Fourier de f0. Soit y∈R. Alors
b
f0(y) = Z+∞
−∞
f0(t)e−ittydt
On effectue une intégration par parties, par exemple en se ramenant à un segment :
Z+M
−M
f0(t)e−itx dt= iyZ+M
−M
f(t)e−itx dt+f(t)e−itx+M
−M
et les termes de bord disparaissent à la limite M→+∞en vertu du résultat précédent. On en déduit que
∀y∈Rb f0(x) = ixˆ f(x)
Par ailleurs, la fonction f0étant intégrable et continue, on sait que sa transformée de Fourier est bornée (cf. résultat de la
question 1) Puisque b f(x) =
[
f0(x)/ix, on en déduit que
lim
x→±∞
ˆ
f(x)=0
4.b Pour tout x∈R, on a
ˆ
f(x) = Z+∞
−∞
f(t)e−itx dt
On pose h: (x, t)7→ f(t)e−ixt. Alors hest définie et continue par rapport à chaque variable sur R2, et admet une dérivée
partielle par rapport à yqui est continue par rapport à chaque variable et qui s’écrit
∂h
∂x : (x, t)7−→ −itf(t)e−itx
On peut la dominer
∀(x, t)∈R×R
∂h
∂x(x, t)=t|f(t)|=|g(t)|
Or la fonction |g|est intégrable sur Rpar hypothèse. Ainsi,
ˆ
fest de classe C1et admet pour dérivée ˆ f0:x7→ −ibg(x)
3

5
Fonction Transformée de Fourier fonction transformée de Fourier
f(t)b f(x)f(t)eiat ˆ f(x−a)
f(t−a)˜ f(x)e−iax f0(t) iy˜ f(x)
f(at)1
|a|˜
fx
atf(t) i(˜y)0(x)
I. 2 Application au calcul de la transformée de
Fourier de x7→ 1
a2+x2
6 Un calcul rapide mais propre (séparer l’intégrale en deux) montre que
∀x∈Rˆ f(x) = 2
1 + x2
7
∀x∈RZ+∞
−∞
eixy
1 + y2dy=πe−|y|
Par parité et en utilisant le résultat de la question 2 on en déduit que La transformée de Fourier de t7→ 1
1+t2est x7→ πe−|x|.
Enfin, 1
a2+t2=1 a2
1
1+(t/a)2. En appliquant le résultat de la question 3.C, on obtient que La transformée de Fourier de t7→ 1 a2+t2
est x7→ π
|a|e−|ax|.
II La transformée de Fourier dans l’espace de Schwartz II. 1 L’espace Sde Schwartz
8 Soit f∈S. Alors, pour tous k, p ∈N,
|t|kf(p)(t) = 1
|t|· |t|k+1f(p)(t)61 |t|·(1 + |t|)k+1f(p)(t)
| {z }
bornée
|t|→+∞0
Réciproquement, si pour tous k, p ∈N,lim|t|→+∞|t|kf(p)(t) = 0, alors t7→ |t|kf(p)(t)est bornée sur R, et
(1 + |t|)kf(p)(t) =
k
X
i=0 k
i|t|if(p)(t)−−−−−→
|t|→+∞0
comme somme de fonctions bornées.
Si f∈E, alors f∈Ssi et seulement si, pour tous k, p ∈N,lim
|t|→+∞|t|kf(p)(t) = 0
9 Tout d’abord, par définition, S⊂E. - 0∈Set la stabilité par combinaison linéaire est immédiate. - La stabilité par
dérivation provient de la définition. - Soient f, g ∈S. Le produit fg est de classe C∞. Soient k, p ∈N. Alors
(fg)(p)(t) =
p
X
i=0 p
if(i)(t)g(p−i)(t)
donc
|t|k(fg)(p)(t) =
p
X
i=0 p
itkf(i)(t)
| {z }
→0
g(p−i)(t)
| {z }
→0
−→
|t|→+∞0
Cela prouve que fg ∈S.
Sest un espace vectoriel stable par dérivation et produit.
Enfin, on montre par récurrence que la fonction gadmet des dérivées successives de la forme g(p)(t) = Qp(t)e−x2/2où Qp
est un polynôm R ], ce qui permet de montrer facilement que
gest élément de F.
10 Tout d’abord, par stabilité par dérivation, f(p)est dans S.
Enfin, si l’on note d:= deg P, alors P(t)=o|t|d+1donc
P(t)f(p)(t)=o|t|d+1f(p)(t)−−−−−→
|t|→+∞0
Puisqu’enfin Pf(p)est de classe C∞,
t7→ P(t)f(p)(t)est élément de S
4

11 Tout d’abord, en prenant k= 0, la série Pf(p)
nconverge uniformément sur R, et ce pour tout p∈N. Cela permet d’invoquer
le théorème de dérivation terme à terme de la somme d’une série, et de conclure que F est bien définie et de classe {∞sur
R.
Enfin, le théorème de la double limite montre que
lim
|t|→+∞|t|kF(p)(t) = lim |t|→+∞
∞
X
n=0 |t|kf(p)
n(t)=0
par convergence uniforme sur R.
F est élément de S.
II. 2 Transformation de Fourier dans S
12 fest continue et f(t) = O
t→±∞ 1
1+t2donc
fest intégrable sur R.
13 Soit finE. Par simple inégalité triangulaire, pour tout x∈R,
|ˆ f(x)|6Z+∞
−∞ |f(t)|dt=kfk1
ce qui prouve que ˆ fest bornée, et kˆ fk∞6kfk1. On en déduit que
Fest linéaire et continue sur (P,k·k1)vers (B,k·k∞).
De plus, on a montré que, pour tout f∈S\{0},
kˆ fk∞
kfk1
61
Enfin, en prenant par exemple f:t7→ e−t2, on obtient en notant
α:= kfk1=Z+∞
−∞
f(t)dt=ˆ f(0)
la majoration
∀x∈R|ˆ f(x)|6Z+∞
−∞
α
et donc
kˆ fk∞
kfk1
= 1
Ainsi
kFk= 1
14 D’après la question 4.b puisque fet t7→ tf(t)sont intégrables, la fonction ˆ fest de classe ’ {1et de dérivée −iF(t7→ tf(t)).
La fonction t7→ tf(t)étant toujours dans l’espace de Schwartz, on peut appliquer récursivement ce raisonnement (ou
directement le théorème de dérivation), et obtenir
ˆ
f(p)(x) = Z+∞
−∞
(−it)pf(t)eixt dt
ˆ
fest de classe C∞et ˆ f(p)= (−i)pF(t7→ tpf(t))
15 On vérifie rapidement (ça a été fait en exercice durant l’année) que ˆg0(x) = −xˆg(x)ce qui donne ˆg(x) = Ae−x2/2. La valeur
A = ˆg(0) = R+∞
−∞ e−t2/2dt=√2πétant plus ou moins connue,
ˆg=√2πg
Remarque 1 On peut montrer que, dans l’espace de Schwartz, les fonctions «gaussiennes»t 7→ e−t2/2σ2sont les seuls vecteurs
propres de l’application «F *
5