2020=2021
Les Applications Linéaires
1Application linéaire
Dé…nition 1. Soient E,Fdeux |espaces vectoriels. Une application f:E! Fest
dite linéaire si les conditions suivantes sont véri…ées :
a) 8v; w 2E:f(v+w) = f(v) + f(w)
b) 82|,8v2E:f(:v) = :f(v).
On dit dans ce cas que fest un homomorphisme ou morphisme d’espaces vectoriels.
Si E=F, et flinéaire, on dit que fest un endomorphisme de E.
Si fest linéaire et bijective, on dit que fest un isomorphisme d’espaces vectoriels.
si fest un endomorphisme bijectif, on dit que fest un automorphisme de E.
On note L|(E; F )ou bien L(E; F )l’ensemble des applications linéaires de Edans F,
espaces vectoriels sur |.
Théorème .1 Soient E,Fdeux |espaces vectoriels et f:E! Fune application.
Alors fest linéaire () 8v; w 2E,8; 2|:f(v +w) = f(v) + f (w).
Démonstration. ( exo).
Remarque .1 Si fest linéaire alors f(0E) = 0F. En e¤et
f(0E:v) = 0E:f(v) = 0F:
Example 1 L’application dé…nie par
f:R2! R
(x; y)7! x+y+ 1 n’est pas linéaire.
l’application dé…nie par
g:R2! R2
(x; y)7! (x+y; x y)est linéaire.
1.1 Image et noyau d’une application linéaire
1.1.1 Image d’une application linéaire
De…nition 1 Soit f2 L(E; F )l’image de Epar fest notée par Im fdé…nie par
Im f=fy2F; 9x2E:y=f(x)g=f(E)
Théorème .2 Soit f2 L(E; F ). Alors l’image par fd’un sous espace vectoriel de Eest
un sous espace vectoriel de F. En particulier f(E)est un sous espace vectoriel.
Démonstration. Soit Hun s.e.v. de E, montrons que f(H)est un s.e.v. de F.
On a f(H)6=?car f(0E) = 0F2f(H).
Soit y1,y22f(H)et ; 2|:y1+y22f(H)?
On a y12f(H) =) 9x12H:y1=f(x1).
y22f(H) =) 9x22H:y2=f(x2):
y1+y2=f(x1) + f(x2) = f(x1+x2)car fest linéaire. Or x1+x22Hcar
Hest un s.e.v. de E. Donc y1+y22f(H). D’où f(H)est un s.e.v. de F.
1.1.2 Noyau d’une application linéaire
De…nition 2 Soit f2 L(E; F ). L’ensemble des vecteurs de Equi ont pour image le
vecteur 0Fest appelé noyau de fet on le note ker f.
ker f=fx2E:f(x) = 0Fg=f1(f0Fg):
Théorème .3 Pour toute application linéaire, f:E! F.ker fest un sous espace
vectoriel de E.
Démonstration. On a ker f6=?car (car f(0E) = 0F).
Soit x; y 2ker fet ; 2|, on a: f(x +y) = f(x) + f(y)(car fest linéaire)
=0F+0F= 0F
d’où x +y 2ker f: Donc ker fest un s.e.v. de E.
Théorème .4 Soit f2 L(E; F ). Alors
a) finjective () ker f=f0Eg.
b) fsurjective () Im f=F.
Démonstration. a) =)) Supposons que fest injective et montrons que ker f=f0Eg.
Soit x2ker f=)f(x) = 0F=f(0E) =)x= 0E(car fest injective). D’où ker f=f0Eg.
(=) Supposons que ker f=f0Eget montrons que f est injective.
Soient x1,x22Etel que f(x1) = f(x2)
f(x1) = f(x2) =)f(x1)f(x2)=0F=)f(x1x2)=0F(car fest linéaire)=)
x1x2= 0E(car ker f=f0Eg)
d’où x1=x2par suite fest injective.
b) On a Im fF.
fest surjective() 8y2F9x2E:y=f(x)2Im f() Im f=F:
Example 2 dans le cours
Théorème .5 Soient E,Fdeux |espaces vectoriels, f2 L (E; F ):Soit fvigi2Nune
famille de vecteurs de E. alors
1) Si fest surjective et si E=fvigi2Nalors F=ff(vi)gi2N
2) Si fest injective et si fvigi2Nest libre de Ealors ff(vi)gi2Nest libre de F.
3) Si fest bijective et si fvigi2Nest une base de Ealors ff(vi)gi2Nest une base de F.
Démonstration. ( dans le cours):
1.2 Application linéaire en dimension …nie
Soient E,Fdeux |espaces vectoriels, f2 L (E; F );dim E=n
et B= (v1; v2; :::; vn)une base de E:
on a x2Eet Bune base de Edonc x=
n
P
i=1
ivi:
pour tout y2Im falors 9x2Etelque y=f(x) = fn
P
i=1
ivi=
n
P
i=1
if(vi):
(car fest linéaire)autrement dit
Im f=hf(v1); f (v2); :::; f (vn)i
Par suite pour dé…nir une application linéaire fsur E, il su¢ t de dé…nir les image des
vecteurs d’une base de E:
Example 3 Soit f:R3!R2dont l’image de la base canonique (e1; e2; e3)est :
f(e1) = (1;2) ;f(e2) = (0;1) ; f(e3) = (3;2)
f(x; y; z) = f(xe1+ye2+ze3) = xf (e1) + yf (e2) + zf (e3) = x(1;2) + y(0;1) +
z(3;2) = (x3z; 2xy+ 2z):
Exercice 1. Soit f:R3!R4dé…nie par
f(x; y; z) = (2x+y+z; x 2y+z; x +y2z; y z)
1) Déterminer ker f, le noyau de l’application f.
2) Déterminer Im f, l’image de l’application f.
3) L’application fest-elle injective ? Est-elle surjective ?
Exercice 2. Soit fl’endomorphisme de R3dont l’image de la base canonique (e1; e2; e3)
est :
f(e1) = e1+e3;f(e2) = e1+ (1) e2;f(e3) = e1+ 3e3;2R
1) Déterminer l’expression de f
2) Déterminer suivants les valeurs de ; ker f,Im f,rg(f)et déduire dans quel cas f
est bijective.
3) Dans le cas fn’est pas bijective montrer R3= ker fIm f
4) Dans le cas fest bijective, déterminer f1
:
1
/
3
100%