Cours de niveau bac+1
7 - Les intégrales
Nous avons déjà vu les en terminale. Pour poursuivre nous allons d'abord
étudier les intégrales avec des bornes infinies puis voir deux méthodes de calcul
d'intégrales compliquées.
Intégrale généralisée
Considérons l'expression et faisons tendre t vers l'infini.
On obtient une intégrale généralisée. On la note .
La limite obtenue peut être soit finie soit infinie. Si on obtient un
nombre fini on dit que l'intégrale est convergente, sinon qu'elle
est divergente.
Pour étudier une intégrale du type , on calcule d'abord
, puis on fait tendre t vers l'infini. On a alors :
.
Propriété
Si est convergente, alors .
La réciproque n'est pas vraie: il existe des fonctions qui tendent
vers 0 en plus l'infini sans pour autant que l'intégrale soit
convergente. C'est le cas par exemple de l'intégrale qui est
divergente alors que .
Remarque
intégrales
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Les intégrales et sont également des intégrales généralisées.
Calculer une intégrale
Voyons maintenant de nouvelles méthodes pour calculer une intégrale. Nous avons vu en
terminale:
- La méthode directe en cherchant une primitive.
- La méthode d'intégration par partie.
Nous allons maintenant apprendre:
- La méthode du changement de variables.
- La décomposition en éléments simples.
Ainsi, nous connaîtrons 4 méthodes pour calculer une intégrale. Mais malheureusement
parfois aucune de ces 4 méthodes ne marche!
Méthode du changement de variable
Prenons l'exemple de l'intégrale .
Il est impossible de trouver une primitive ou de réaliser une intégration par parties.
Cependant, on remarque que si on remplace par x, l'intégrale sera plus simple à
calculer. On pose donc .
Puis on modifie en conséquence les bornes de l'intégrale et le "dx".
donc
.
Enfin on calcule la nouvelle intégrale. Ici on pourra calculer I avec une intégration par
parties.
Méthode de la décomposition en éléments simples
Cette méthode consiste à effectuer un changement de l'écriture de la fonction f lorsque
celle-ci est une fraction rationnelle, c'est à dire un quotient de deux polynômes. On écrira
alors cette fraction rationnelle comme une somme de fractions rationnelles plus simples à
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intégrer.
est une fraction rationnelle.
Lorsque le dénominateur d'une fraction rationnelle est factorisé en un produit de
polynômes, il est possible de décomposer la fraction frationnelle en une somme de
fractions rationnelles ayant chacune pour dénominateur un facteur du polynôme factorisé
et pour numérateur un polynôme d'un dégré inférieur de 1 à celui du dénominateur.
Exemple
La fraction rationnelle pourra se décomposer en , avec A
et B des polynômes de degré 0, c'est à dire des constantes.
- On obtient A en multipliant l'équation par puis en remplacant x par -2 :
- On obtient B en multipliant l'équation par puis en remplacant x par -3 :
On en déduit que , ce qui nous permet de calculer :
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