FPK 2017-2018 SMP S3 Analyse 3 - Examen de Rattrapage (1h30) K. ISKAFI
Vous ˆetes invit´es `a porter une attention particuli`ere `a la r´edaction ; la r´ef´erence des questions doit obligatoi-
rement ˆetre mentionn´ee. Aucune r´ef´erence n’est autoris´ee (feuille, livre et notes de cours).
Les ordinateurs, les t´el´ephones portables, les calculatrices programmables, les calculatrices `a clavier al-
phab´etique et l’´echange des outils (stylo, gomme, blanco, . . .) sont interdits.
L’usage d’une calculatrice ordinaire est autoris´e.
Toute r´eponse non justifi´ee ne sera pas prise en compte.
Ne modifier pas l’ordre des r´eponses.
Partie I (5,5 p.) (Transform´ee de Fourier)
En utilisant la transform´ee de Fourier, r´esoudre l’´equation diff´erentielle
y0−y=f(t), f(t) = (e−t, t ≥0
0, t < 0
Partie II (6,5 p.) (Transfortm´ee de Laplace)
1. D´eterminer la transfortm´ee de Laplace des fonctions suivantes et pr´eciser leurs abs-
cisses de convergence :
(a) f(t) = (t, t ≥0
0, t < 0
(b) f(t) = (cos(2t), t ≥0
0, t < 0
(c) f(t) = (sin(2t), t ≥0
0, t < 0
2. En d´eduire la solution de l’´equation diff´erentielle
y00 + 4y=t
y(0) = 1, y0(0) = 2
Partie III (8 p.) (Calcul Int´egral)
1. Calculer de deux mani`eres diff´erentes le flux du rotationnel du champs vectoriel
~
F(x, y, z) = x2z~
i+xy2~
j+z2~
k`a travers la partie du cˆone S:y=√x2+z2qui
se trouve `a l’int´erieur du cylindre x2+z2= 2.
2. Calculer le flux du champs vectoriel ~
F(x, y, z) = xy
~
i+ (cos(xz2) + y2)~
j+yex2~
k`a
travers la surface Senferm´ee par le parabolo¨ıde z= 1 −x2et les plans z= 0, y = 0
et y+z= 2.
Bon Courage
1
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100%
