Équations Différentielles et Transformée de Laplace

Ir. Robech Nkoy
Destiné aux étudiants de Deuxième Bachelier TS
REPUBLIQUE DEMOCRATIQUE DU CONGO
UNIVERSITE DE LUBUMBASHI
ECOLE SUPERIEURE DES INGENIEURS INDUSTRIELS
B.P.1825
Par :
Blaise FYAMA
Ingénieur civil de mines
Administrateur, Programmeur Réseaux et Web
Master of Sciences
Spécialité : Informatique
Professeur 
Yannick KIYUKENO
Ingénieur de mines
Université de Lubumbashi
Ph.DStudent

Idriss A-MBAZ [phone]
TABLE DE MATIERE
TABLE DE MATIERE .............................................................................................................. 0
PLAN DU COURS .................................................................................................................... 3
CHAP I : EQUATIONS DIFFRENTIALLES ORDINAIRE DU I er ORDRE ......................... 3
CHAP II : EQUATIONS DIFFERENTIELS ORDINAIRES DU IIème ORDRE ...................... 3
CHAP III : TRANSFORMEE DE LAPLACE .......................................................................... 3
Pré requis ................................................................................................................................ 3
Chapitre I EQUATIONS DIFFRENTIALLES ORDINAIRE DU Ier ORDRE ...................... 4
I.0. INTRODUCTION ........................................................................................................... 4
I.1. EQUATION DIFFERENTIELLE ORDINAIRE SEPARABLES .................................. 7
I.2. EQUATION DIFFERENTIELLE ORDINAIRE LINEAIRE ......................................... 9
EXERCICES ........................................................................................................................ 13
1.3. EQUATION DIFFERENTIELLE ORDINAIRE EXACTES ....................................... 17
Définition 3 fonction potentielle ...................................................................................... 17
Définition 4 Equation différentielle ordinaire exacte ....................................................... 18
Théorème 1.1 : test d’exactitude ...................................................................................... 18
I.4 . FACTEUR INTEGRANTS .......................................................................................... 20
REMARQUE ....................................................................................................................... 20
Definition5. Facteurs intégrant ......................................................................................... 20
I.5. QUELQUES TYPES SPECIAUX D’EQUATION DIFFERENTIELLE ORDINAIRE
.............................................................................................................................................. 21
I.5.1. EQUATION DIFFERENTIELLE ORDINAIRE HOMOGENE ........................... 21
I.5.2. Equation de BRNOULLI ....................................................................................... 24
I.5.3 Equation de RICCATI ............................................................................................. 25
Définition ............................................................................................................................. 25
I.6. QUELQUES APPLICATIONS DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES
ORDINAIRES DU 1ER ORDRE ........................................................................................ 26
2° loi de Newton sur le mouvement ................................................................................. 26
I.6.1. APPLICATION MECANIQUES ........................................................................... 27
I.6.2. Applications électriques. ........................................................................................ 31
Chapitre II EQUATION DIFFERENTIELLEORDINAIRE DU SECOND ORDRE ............ 34

Idriss A-MBAZ [phone]
II.1. THEORIE DES SOLUTIONS DE L’EQUATION DIFFERENTIELLE ORDINAIRE
 ....................................................................................................... 34
SCHEMATISATION ........................................................................................................... 35
II.1.1. théorème des solutions ........................................................................................... 35
II.1.1. Problème aux Conditions-Initiales-Existence et unicité des solutions .................. 35
II.1.2. théorie des solutions pour le cas homogène, f(x)=0 .............................................. 35
Propriété importante de (2.1.1) ........................................................................................ 35
Théorème 2.2 .................................................................................................................... 35
Théorème 2.4 ........................................................................................................................ 37
Définition3. Solution générale ............................................................................................. 37
II.1.3 théorème pour le cas non homogène .......................................................................... 38
II.2. Réduction D’ordre ........................................................................................................ 38
II.3 EQUATION DIFFERENTIELLE ORDINAIRE LINEAIRES A COEFFICIENTS
CONSTANTS ...................................................................................................................... 39
II.4. EQUATIONS D’EULER ............................................................................................. 42
Rappel ................................................................................................................................... 43
II.5. Méthodes des coefficients indéterminés ....................................................................... 44
II.7. MODELES MATHEMATIQUES DES SYSTEMES MECANIQUES ...................... 50
II.8. MODELES MATHEMATIQUES DES SYSTEMES MECANIQUES : .................... 51
cas du ressort ........................................................................................................................ 51
II.9. L’ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE ORDINAIRE D’ORDRES SUPERIEURS ..... 54
Chapitre III. TRANSFORME DE LA PLACE ....................................................................... 55
III.1. LA TRANSFORMATION DE LAPLACE ET LA TRANSFORMEE INVERSE DE
LAPLACE. ........................................................................................................................... 55
III.1.1. Définition 1. Transformée de Laplace .................................................................. 55
Chapitre IV. APPLICATION D’INGENIEUR ........................................................................ 58
EXERCICES ILLUSTRATIFS ............................................................................................ 61
BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................... 72

Idriss A-MBAZ [phone]
PLAN DU COURS
CHAP I : EQUATIONS DIFFRENTIALLES ORDINAIRE DU I er ORDRE
CHAP II : EQUATIONS DIFFERENTIELS ORDINAIRES DU IIème ORDRE
CHAP III : TRANSFORMEE DE LAPLACE
CHAP IV : APPLICATIONS D’INGENIEUR
Pré requis
1. calcul différentiel et intégral
2. algèbre linéaire
- applications linéaires
- calcul matriciel
- calcul des déterminants
3. notions élémentaires d) sur les nombres complexes
4. algèbre
- équation algébriques du
1er degré : 
2e degré :
- théorème sur les polynômes et les fractions rationnelles

Idriss A-MBAZ [phone]
Chapitre I EQUATIONS DIFFRENTIALLES ORDINAIRE DU Ier ORDRE
I.0. INTRODUCTION
- une équation différentielle ordinaire du Ier ordre est une équation qui contient une ou
plusieurs dérivée(s) d’une fonction inconnue y
L’adjectif ordinaire que nous utilisons c’est pour signifier que la fonction inconnue y
dans l’équation différentielles ordinaire est une fonction réelle d’une seule variable.
Lorsque dans l’équation la fonction inconnue est une fonction de plusieurs variables, on
parlera d’équation aux dérivées partielles (EDP) nous n’allons pas les étudier.
- L’ordre d’une équation différentielle ordinaire correspond à l’ordre le plus
élevé de la dérivée contenue dans l’équation différentielle ordinaire.
Exemple :
 L’ordre ici est 1 on parle de l’équation différentielle ordinaire du 1er
ordre
Équationdifférentielle ordinaire du second ordre
La solution d’une équation différentielle ordinaire est fonction  qui substituée à
y dans l’équation diffrentielle ordinaire vérifie identiquement l’équation pour dans un certain
intervalle.
Ainsi nous dirons que  est une équation différentielle ordinaire du 1er degré
sur un certain intervalle ouvert  si
 ,
Exemple 
k =cste est une solution de l’équation différentielle ordinaire 
et
Solution définie implicitement
Quelquefois, une solution d’une équation différentielle ordinaire peut être définie
implicitement. Considérons par exemple :
Une solution de cette équation différentielle ordinaire est définie implicitement par
l’équation
En effet :