Exercices Champ Électromagnétique L1

LICENCE 1 3EA 2024-2025
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Travaux Dirigés -
Champ Electro-Magnétique
ELECTROSTATIQUE
Exercice 1 : Charges ponctuelles-Symétries
de la distribution
Deux particules de charges opposées – q0 et q0, sont
espacées d’une distance 2l. On appellera N et P leurs
positions, et l’origine du repère sera naturellement
choisie en leur milieu.
1. Calculer la force exercée par la charge -q0.
Préciser son sens et sa direction.
2. Déterminer le champ électrique (direction,
sens, valeur) créé par les deux charges -q0
et q0 en O, en A, et en B.
3. Calculer le potentiel électrique O, en A et
en B.
4. On s’intéresse à un point quelconque M.
a) Exprimer le potentiel électrique en M
en fonction de ses coordonnées.
b) Représenter qualitativement, en
respectant le plus exactement possible
les proportions, le champ électrique en
M.
5. Représenter le champ électrique en tout
autre point de la figure.
Données : OA= OA1 ; OB= OB1 ; MM1=
M3M2 et MM3= M1M2
l=1cm, q0=1C xA= -5,0 cm, yB= +5,0 cm,
I.S,K
o
9
1009
41
Exercice 2 : Distribution discrète de charges
On place quatre charges ponctuelles aux sommets
A, B, C, D d’un carré de côté a = 1m et de centre
O, origine d’un repère orthonormé Oxy de vecteurs
unitaires
 et 
 (Figure 1).
On donne :
q1 = q =10-8C ; q2 = -2q ; q3 = 2q ; q4 = - q
1- Déterminer le champ électrique 
au
centre O du carré. Préciser la direction, le
sens et la norme de ce champ.
2- Exprimer le potentiel V créé en O par les
quatre charges.
3- Exprimer le potentiel V(M) en tout point
M des segments II’ et JJ’. En déduire la
valeur du potentiel I, I’, J, J’.
4- Exprimer le potentiel V(M) en tout point
M des segments II’ et JJ’. En déduire la
valeur du potentiel aux milieux I,I’, J et J’
des côtés du carré.
B(q2)
A(q1)
D (q4)
C (q3)
x
x'
y'
y
O
Figure 1
I’
I
J
J’
x
M
M3
M2
M1
A
B1
B
y
A1
N
P
O
X
X
X
X
X
X
X
X

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Exercice 3 : Fil uniformément chargé
Le système ci-contre représente un fil non conducteur
constitué d’une partie rectiligne semi-infinie AC, d’une
partie AB recourbée en un quart de cercle de centre O et
de rayon R et, enfin, d’une partie rectiligne semi-infinie
BD. Le fil porte une densité linéique uniforme 
positive.
1. Calculer le champ électrostatique créé en O
par la partie BD.
2. En déduire le champ électrostatique créé en O
par la partie AC.
3. Calculer le champ électrostatique créé en O
par la partie AB.
4. En déduire le champ total en O créé par ce fil.
Exercice 4 : Spire et disque évidé
Un disque évidé porte une charge surfacique
>0. Son rayon interne est R2 et son rayon
externe est R1 . Les charges se retrouvent dans
la zone R2 ˂ r ˂ R1.
1-Retrouver le champ électrique créé par un
disque non évidé en tout point M(z) de l’axe Oz.
En déduire celui créé par le disque évidé.
Exercice 5 : Condensateur cylindrique
On considère un condensateur cylindrique composé
de deux armatures coaxiales de hauteur H, de rayon
respectif R1 et R2 avec R1  R2 et placées dans l’air.
L’armature interne porte la charge porte la charge
électrique Q > 0. L’armature externe porte une
charge totale − Q. La longueur H du câble coaxial
ainsi formé est assez grande devant R1 et R2 pour
qu’on puisse négliger les effets de bord : on
considère que les symétries et les invariances sont
les mêmes que si H était infinie. Les potentiels
électriques des armatures sont respectivement V1 et
V2. Soit un point M situé à la distance r = KM de
l’axe avec R1 < r < R2. K est la projection
orthogonale du point M sur l’axe du condensateur.
1.Soit r le vecteur unitaire de la droite KM dirigé
de K vers M. Montrer que le champ électrique est
radial et que sa valeur algébrique ne dépend que de
r soit 
  .
2. En appliquant le théorème de Gauss, déterminer
l’expression de E(r) en fonction de Q, ε0
(permittivité du vide égale à celle de l’air), r et H.
On distinguera les cas selon que r < R1, R1 < r < R2
et r > R2.
3. En déduire le potentiel V(r) à une distance r de
l’axe lorsque R1 < r < R2. On exprimera V(r) en
fonction de Q, H, V1, R1, ε0 et R. En déduire la
différence de potentiel U = V1 − V2 entre les deux
armatures du condensateur en fonction de Q, ε0, H,
R1 et R2.
O
x
y
C
A
D
B
R1
R2
O
z

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Exercice 6 : Plan chargé
On considère deux plaques parallèles P0 et PA qui
coupent orthogonalement un axe Ox en deux points
O et A. Ces plaques sont uniformément chargées
respectivement avec une densité surfacique  et −
et situées à une distance h l’une de l’autre.
En supposant que les plaques possèdent de très
grandes dimensions, calculer :
1) le champ électrique en tout point M
d’abscisse x situé entre ces plaques.
2)
3) Calculer le potentiel au point M ainsi que
les cas particuliers en O et A.
4) Calculer la différence de potentiels entre
ces deux points O et A.
MAGNÉTOSTATIQUE
Exercice 7 : Champ magnétique créé
à grande distance par un circuit carré
Un circuit carré de côté 2b est parcouru par un
courant d’intensité I. Calculer le champ
magnétique créé en un point M de l’axe passant
par le centre du circuit. Que devient ce champ
lorsque la distance x = OM>>b.
Exercice 7 : Conducteur métallique
uniformément chargé en volume
On considère un cylindre infini, d’axe (Oz), de
rayon R, uniformément chargé en volume, avec
la densité volumique  > 0. Ce cylindre est mis
en rotation autour de son axe, à la vitesse
angulaire .
1. Exprimer le vecteur densité volumique de
courant 
 de cette distribution.
2. Déterminer le champ magnétostatique
crée en un point de l’axe (Oz) par cette
distribution de courants. On pourra
découper la distribution en cylindres
élémentaires, compris entre r et r + dr,
assimilés à des solénoïdes.
3. En utilisant le théorème d’Ampère,
déterminer le champ magnétostatique en
tout point de l’espace.

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Exercice 8 : Solénoïde infini
On considère un solénoïde mince d’axe z’Oz
supposé de longueur infinie comportant n
spires par unité de longueur et parcouru par un
courant d’intensité I.
A partir notamment de la connaissance du
champ magnétostatique sur l’axe, démontrer
que :
1. Hors de l’axe Oz, B(M) = B() ez par
des considérations de symétries et
d’invariances,
2. Le champ magnétostatique est
uniforme à l’intérieur en utilisant le
théorème d’Ampère,
3. Le champ magnétostatique est nul à
l’extérieur en utilisant le théorème d’Ampère.
Exercice 9 : le câble coaxial
Un câble coaxial est constitué de deux cylindres
C1 et C2 de même axe (oz) :
 l’âme C1 est un cylindre conducteur de rayon
a1 ;
 l’armature externe, ou gaine est un
cylindre de rayon intérieur a2 et d’épaisseur e
<< a2 ;
 Le volume entre l’âme et la gaine est
rempli par un matériau isolant.
Ce câble est utilisé dans un circuit électrique :
l’âme est alors parcourue par un courant I
réparti uniformément dans son volume, tandis
que la gaine est parcourue par un courant – I
réparti sur sa surface (l’épaisseur de la gaine
étant négligée).
1. Donner les vecteurs courants dans l’âme
et la gaine.
2. Calculer le champ magnétostatique crée
en tout point de l’espace par cette
répartition de courants. Représenter la
norme de 
3. On considère la surface verticale de
hauteur h, découpée dans l’isolant (a1 < r
< a2), représentée sur la figure ci-contre.
Calculer le flux  de 
à travers cette
surface.
4. On appelle coefficient d’auto-induction la
quantité   
Exprimer L, ainsi que 
le coefficient d’auto-induction par unité
de longueur.
5. On peut montrer que la capacité par unité
de longueur  de ce câble coaxial est
donnée par    . En déduire que le
produit   est constant.
Exercice 10 : Cylindre évidé
Un cylindre de révolution autour de l’axe Oz
a pour rayon b et une longueur « infinie » (très
grande devant b). Il est parcouru dans la
a2
I
a1
z
I
e
h

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direction et dans le sens de Oz par un courant
continu de densité uniforme de courant .
1. a) Par analyse des invariances de la
distribution de courant, déterminer la
dépendance du champ 
en
coordonnées cylindriques (r, u, z), pour
un point P quelconque de l’espace.
b) Par analyse des symétries de la
distribution de courant, déterminer
la direction du champ 
dans la
base cylindrique (
) pour
un point P quelconque de l’espace.
2. a) Déterminer le vecteur champ
magnétique créé par ce courant en un
point P extérieur au cylindre, situé à la
distance r de Oz.
b) Même question lorsque P est à
l’intérieur du cylindre.
3. Un cylindre « de longueur infinie » et
de révolution autour de l’axe Oz est
creux ; la partie pleine est comprise
entre les rayons b1 et b2 (b1 > b2). Elle
est parcourue dans la direction et dans
le sens de Oz par un courant continu de
densité uniforme de courant 
a) Déterminer le vecteur champ 
en
un point P tel r(P) < b2.
b) Déterminer le vecteur champ en un
point P tel b2 < r(P) < b1.