Corrigé TD: Résolution Numérique Systèmes Linéaires

H. DOUZI
Faculté des Sciences, Agadir
Corrigé de TD n°2 SMA4-SMI4-SMP4 (2017)
Résolution Numérique des systèmes linéaires
Exercice 1
1. Si A=L1U1=L2U2 alors L2-1L1=U2U2-1 =Id (matrice triangulaire inférieure =
matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale) d’où L1=L2 et U1=U2
Pour montrer l’existence de la décomposition LU on peut vérifier que les déterminants
principaux de A sont non nuls ce qui implique que les pivots sont non nuls.
2. On considère le système Ax=b et on utilise la méthode de remontée pour exprimer x
en fonction de b on obtient :
1000 2100 4210 8421
1
A
Pour le système (S) en appliquant gauss on obtient le système triangulaire :
4200 2420 41284
321
321
321
xxx xxx xxx
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Exercice 3
1. On peut vérifier que les déterminants principaux de A sont non nuls.
2. Avec la méthode d’élimination de Gauss on obtient (voir cours) :
Exercice 4
1- Les valeurs propres de A sont 0.5858, 2.0000 et 3.4142 elles sont positives donc A admet
une décomposition de Cholesky donné par (voir formules dans le cours) :
1547.18165.00 02247.17071.0 004142.1
L
2- Procédé d’orthonormalisation de Gram Schmidt :
111 aaq 
22
21122
2,qqqaqaaq 
33
32231133
3,, qqqaqaaqaaq 
Ce qui donne
),,( 321 qqqQ
La matrice R est donné par
AQR t