
1 Introduction g´en´erale
De nombreux ph´enom`enes ´economiques et industriels peuvent se mod´eliser par des syst`emes
math´ematiques d’in´egalit´es et d’´egalit´es lin´eaires conduisant `a des probl`emes d’optimisation lin´eaire.
Dans ces probl`emes d’optimisation lin´eaire, on cherche `a minimiser ou maximiser une fonction lin´eaire
sous des contraintes lin´eaires portant sur les variables du probl`eme. On parle souvent de programma-
tion lin´eaire (ou encore de programme lin´eaire), le terme de programmation faisant r´ef´erence `a l’id´ee
d’organisation et de planification li´e `a la nature des ph´enom`enes mod´elis´es. Ce terme a ´et´e introduit
pendant la Seconde Guerre mondiale et syst´ematiquement utilis´e `a partir de 1947 lorsque G. Dantzig
inventa la m´ethode du simplexe pour r´esoudre les probl`emes de programmation lin´eaire. Les applications
industrielles de la programmation lin´eaire sont tr`es pr´esentes par exemple dans l’industrie p´etroli`ere (pour
l’extraction, le raffinage et la distribution du p´etrole), dans l’agroalimentaire (composition optimale des
ingr´edients de plats cuisin´es, etc.), industrie du fer et de l’acier (composition optimale des aciers), l’in-
dustrie du papier (probl`emes de d´ecoupe), les transports (plan de vols d’avions, minimisation des coˆuts
de transport...) et les r´eseaux (optimisation des r´eseaux informatiques et de communication).
Ce cours pr´esente les propri´et´es et les concepts fondamentaux de la programmation lin´eaire puis
expose l’algorithme du simplexe pour r´esoudre un programme lin´eaire. L’algorithme du simplexe est
mis en œuvre selon deux m´ethodes, la m´ethode des dictionnaires et la m´ethode des tableaux.
La premi`ere m´ethode permet de bien comprendre le d´eroulement du simplexe alors que la m´ethode des
tableaux est plus alg´ebrique et elle conduit `a la mise en œuvre effective de l’algorithme du simplexe. Une
application de la m´ethode du simplexe `a l’analyse de sensibilit´e d’un programme lin´eaire est ´egalement
pr´esent´ee ainsi qu’une introduction `a la dualit´e en programmation lin´eaire.
2 Mod´elisation et r´esolution graphique
2.1 Mod´elisation
En optimisation et plus g´en´eralement en Recherche Op´erationnelle, mod´eliser un probl`eme consiste
`a identifier les variables intrins`eques, les diff´erentes contraintes auxquelles sont soumises ces variables et
enfin `a d´efinir l’objectif vis´e (optimisation). Dans un probl`eme de programmation lin´eaire (PL en abr´eg´e)
les contraintes et l’objectif sont des fonctions lin´eaires des variables.
On va ´etudier un exemple particulier de programmation lin´eaire qui servira d’exemple de r´ef´erence
tout au long de ce cours. Il s’agit d’un probl`eme de production volontairement tr`es simple. Le but ici
n’´etant pas de r´esoudre ce probl`eme mais d’introduire les notions et concepts fondamentaux li´es `a la
programmation lin´eaire. Dans cet exemple, on consid`ere une usine qui fabrique deux produits P1et P2
en utilisant 3 types de ressources : ´equipement, main d’œuvre et mati`eres premi`eres. Ces besoins sont
indiqu´es dans le Tableau 1 ci-dessous. Par ailleurs, chaque ressource est disponible en quantit´e limit´ee
(cf. Tableau 1).
P1P2disponibilit´e
´equipement 3 9 81
main d’oeuvre 4 5 55
mati`ere premi`ere 2 1 20
Table 1 – Un probl`eme de production : ressources n´ecessaires et ´equipements disponibles
Les deux produits P1et P2rapportent `a la vente respectivement des b´en´efices de 6 euros et 4 euros
par unit´e. On cherche `a savoir quelles quantit´es de produits P1et P2doit produire l’usine afin de maxi-
miser le b´en´efice total venant de la vente des 2 produits. Les quantit´es de produits sont des valeurs non
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