Graphes et Recherche Opérationnelle : Programmation Linéaire

Graphes
et
Recherche Op´erationnelle
Programmation Lin´ eaire
J.-F. Scheid
TELECOM Nancy 2A 2020-2021

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Table des mati`eres
1 Introduction g´en´erale 4
2 Mod´elisation et r´esolution graphique 4
2.1 Mod´elisation ........................................... 4
2.2 R´esolutiongraphique....................................... 5
3 Formes g´en´erales d’un programme lin´eaire 6
3.1 Formecanoniquemixte ..................................... 6
3.2 Formecanoniquepure ...................................... 7
3.3 Formestandard.......................................... 7
3.4 Variabled’´ecarts ......................................... 7
4 Solutions de base r´ealisables 8
5 Propri´et´es g´eom´etriques des solutions de base r´ealisables 10
6 Algorithme du simplexe 11
6.1 L’algorithme du simplexe proprement dit : la phase 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.2 Calcul des coˆuts r´eduits et variable entrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3 Variablesortante ......................................... 13
7 Mises en œuvre de l’algorithme du simplexe 14
7.1 M´ethodedesdictionnaires.................................... 14
7.2 M´ethodedestableaux ...................................... 16
8 Convergence du simplexe 21
9 Initialisation et variables artificielles : la phase 1 23
9.1 Probl`emeauxiliaire........................................ 23
9.2 Exemple.............................................. 24
10 Analyse post-optimale 25
10.1 Analyse de sensibilit´e de l’objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
10.2 Analyse de sensibilit´e du second membre des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
11 Dualit´e 29
11.1Introductionetd´efinition .................................... 29
11.2 Propri´et´es - Th´eor`emes de dualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
11.3 Conditions d’optimalit´e primal-dual (COPD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
R´ef´erences 34
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1 Introduction g´en´erale
De nombreux ph´enom`enes ´economiques et industriels peuvent se mod´eliser par des syst`emes
math´ematiques d’in´egalit´es et d’´egalit´es lin´eaires conduisant `a des probl`emes d’optimisation lin´eaire.
Dans ces probl`emes d’optimisation lin´eaire, on cherche `a minimiser ou maximiser une fonction lin´eaire
sous des contraintes lin´eaires portant sur les variables du probl`eme. On parle souvent de programma-
tion lin´eaire (ou encore de programme lin´eaire), le terme de programmation faisant r´ef´erence `a l’id´ee
d’organisation et de planification li´e `a la nature des ph´enom`enes mod´elis´es. Ce terme a ´et´e introduit
pendant la Seconde Guerre mondiale et syst´ematiquement utilis´e `a partir de 1947 lorsque G. Dantzig
inventa la m´ethode du simplexe pour r´esoudre les probl`emes de programmation lin´eaire. Les applications
industrielles de la programmation lin´eaire sont tr`es pr´esentes par exemple dans l’industrie p´etroli`ere (pour
l’extraction, le raffinage et la distribution du p´etrole), dans l’agroalimentaire (composition optimale des
ingr´edients de plats cuisin´es, etc.), industrie du fer et de l’acier (composition optimale des aciers), l’in-
dustrie du papier (probl`emes de d´ecoupe), les transports (plan de vols d’avions, minimisation des coˆuts
de transport...) et les r´eseaux (optimisation des r´eseaux informatiques et de communication).
Ce cours pr´esente les propri´et´es et les concepts fondamentaux de la programmation lin´eaire puis
expose l’algorithme du simplexe pour r´esoudre un programme lin´eaire. L’algorithme du simplexe est
mis en œuvre selon deux m´ethodes, la m´ethode des dictionnaires et la m´ethode des tableaux.
La premi`ere m´ethode permet de bien comprendre le d´eroulement du simplexe alors que la m´ethode des
tableaux est plus alg´ebrique et elle conduit `a la mise en œuvre effective de l’algorithme du simplexe. Une
application de la m´ethode du simplexe `a l’analyse de sensibilit´e d’un programme lin´eaire est ´egalement
pr´esent´ee ainsi qu’une introduction `a la dualit´e en programmation lin´eaire.
2 Mod´elisation et r´esolution graphique
2.1 Mod´elisation
En optimisation et plus g´en´eralement en Recherche Op´erationnelle, mod´eliser un probl`eme consiste
`a identifier les variables intrins`eques, les diff´erentes contraintes auxquelles sont soumises ces variables et
enfin `a d´efinir l’objectif vis´e (optimisation). Dans un probl`eme de programmation lin´eaire (PL en abr´eg´e)
les contraintes et l’objectif sont des fonctions lin´eaires des variables.
On va ´etudier un exemple particulier de programmation lin´eaire qui servira d’exemple de r´ef´erence
tout au long de ce cours. Il s’agit d’un probl`eme de production volontairement tr`es simple. Le but ici
n’´etant pas de r´esoudre ce probl`eme mais d’introduire les notions et concepts fondamentaux li´es `a la
programmation lin´eaire. Dans cet exemple, on consid`ere une usine qui fabrique deux produits P1et P2
en utilisant 3 types de ressources : ´equipement, main d’œuvre et mati`eres premi`eres. Ces besoins sont
indiqu´es dans le Tableau 1 ci-dessous. Par ailleurs, chaque ressource est disponible en quantit´e limit´ee
(cf. Tableau 1).
P1P2disponibilit´e
´equipement 3 9 81
main d’oeuvre 4 5 55
mati`ere premi`ere 2 1 20
Table 1 – Un probl`eme de production : ressources n´ecessaires et ´equipements disponibles
Les deux produits P1et P2rapportent `a la vente respectivement des b´en´efices de 6 euros et 4 euros
par unit´e. On cherche `a savoir quelles quantit´es de produits P1et P2doit produire l’usine afin de maxi-
miser le b´en´efice total venant de la vente des 2 produits. Les quantit´es de produits sont des valeurs non
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n´ecessairement enti`eres.
•Choix des variables (les inconnues) :x1et x2sont respectivement les quantit´es des produits P1et
P2fabriqu´es (x1, x2∈R).
•Choix de la fonction objectif `a maximiser : La fonction objectif Fcorrespond au b´en´efice total
provenant de la vente des produits P1et P2en quantit´e x1et x2. Elle vaut F(x1, x2)=6x1+ 4x2.
Le probl`eme se traduit donc par
max
(x1,x2)[F(x1, x2)=6x1+ 4x2].
•D´etermination des contraintes.
— La disponibilit´e de chacune des ressources s’´ecrit :
3x1+ 9x2≤81 (´equipement)
4x1+ 5x2≤55 (main-d’oeuvre)
2x1+x2≤20 (mati`ere premi`ere)
— Positivit´e des variables : x1, x2≥0.
En r´esum´e, le probl`eme de production se mod´elise sous la forme
max
(x1,x2)[F(x1, x2)=6x1+ 4x2].
sous les contraintes :
3x1+ 9x2≤81
4x1+ 5x2≤55
2x1+x2≤20
x1, x2≥0
(2.1)
Remarque. Pour un probl`eme d’optimisation o`u on cherche `a minimiser une fonction objectif F(au
lieu de maximiser comme dans l’exemple pr´ec´edent du probl`eme de production), on peut toujours se
ramener `a un probl`eme de maximisation grˆace `a la relation
min(F) = −max(−F) (2.2)
2.2 R´esolution graphique
Dans le cas d’un PL `a deux variables, on peut envisager une r´esolution graphique. Les contraintes o`u
apparaissent des in´egalit´es correspondent g´eom´etriquement `a des demi-plans. L’intersection de ces demi-
plans forme l’ensemble des variables satisfaisant `a toutes les contraintes (la partie hachur´ee de la figure 1).
A la fonction objectif Fcorrespond une droite F(x1, x2) = 6x1+ 4x2= constante, de coefficient directeur
(−1,6/4). La constante pr´ec´edente qui d´efinie la droite doit ˆetre la plus grande possible (maximisation) et
rencontrer l’ensemble des variables qui satisfont les contraintes. Pour d´eterminer cette valeur maximale,
on fait donc ”glisser” la droite (translation parall`ele `a la direction de la droite) du haut vers le bas jusqu’`a
rencontrer l’ensemble des variables satisfaisant les contraintes. Le maximum de Fsur cet ensemble des
contraintes est alors atteint. On obtient ainsi la solution optimale (x1, x2) = (15/2,5) et ce qui donne une
valeur maximale max(F) = 65.
On remarque que l’ensemble des contraintes (la partie hachur´ee de la figure 1) est un polygone
convexe et que le maximum de Fest atteint en un sommet de ce polygone. Cette observation est, en
fait, un r´esultat g´en´eral que l’on ´etabliera dans les sections suivantes.
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