Distributions gaussiennes anisotropes : Rapport de recherche

Telechargé par adam.larat
HAL Id: hal-01272438
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Submitted on 15 Feb 2016
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Au sujet du Gaussien Anisotrope
Adam Larat
To cite this version:
Adam Larat. Au sujet du Gaussien Anisotrope. [Rapport de recherche] CNRS. 2016. �hal-01272438�
fpt, ~x,~cq
~c ~x t
pt, ~x,~cqBtf` B~x p~cfq`B~c ´~f¯0
τ
~“ p~
u´~cq{τ .
2d`1d
MkżRd`bk~c˘fpt, ~x,~cqd~c,
bkk
b0~c 1,b1~c ~c,b2~c ~c b~c,
bk~c
k
BtMk`żRd`bk~c˘B~x p~cfqd~c “ ´żRd`bk~c˘B~c ´~f¯d~c.
bk
B~x `bk`1~c f˘.
pi1, . . . , ikq
kf `bk´1~c˘d~ı.
dB D
p q p `qn
pBdDqpi1,...,inq1
n!ÿ
σPSpnqpBbDqσpi1,...,inq.
Ck
d`k´1
k
BtMk` B~xMk`1kpMk´1d~
u´Mkq
τ.
k
k`1
fpt, ~x,~cq “ ρpt, ~xqδp~c ´~
upt, ~xqq
$
&
%
Btρ` B~x pρ~
uq “ 0,
Btpρ~
uq ` B~x pρ~
ub~
uq “ ρ~
u´ρ~
u
τ,
d`1ρ d
d`1
pd`1qpd`2q
2
fpt, ~x,~cq “ ρpt, ~xq
bp2πqddet Σ
exp ˆ´1
2p~c ´~
upt, ~xqqTΣ´1p~c ´~
upt, ~xqq˙,
Σ
S`R2d`1˘
ˆż`8
´8
e´X2dX˙2
ˆż`8
´8
e´X2dX˙ˆż`8
´8
e´Y2dY ˙żR2
e´pX2`Y2qdXdY
żρą0ż2π
θ0
ρe´ρ2dρdθ 2πżρą0ˆ1
2e´ρ2˙1π.
ż`8
´8
e´X2dX ?πżR
e´x2
αdx ?απ
M0żRd
fpt, ~x,~cqd~c ρpt, ~xq
bp2πqddet Σ żRd
exp ˆ´1
2Σ´1{2p~c ´~
uqTΣ´1{2p~c ´~
uq˙d~c
ρpt, ~xq
p2πqd{2żRd
exp ˜´k~
Xk2
2¸d~
X
ρpt, ~xq.
żR
x2k`1ex2dx 0.
f
żRd
~c fpt, ~x,~cqd~c M0~
u`ρpt, ~xq
bp2πqddet Σ żRdp~c ´~
uqexp ˆ´1
2kΣ´1{2p~c ´~
uqk2˙d~c
ρ~
upt, ~xq
M2ρpt, ~xq
bp2πqddet Σ żRd
~c b~c exp ˆ´1
2kΣ´1{2p~c ´~
uqk2˙d~c.
~c b~c “ p~c ´~
uqbp~c ´~
uq ` 2~
ud p~c ´~
uq ` ~
ub~
u.
pi, jqPv1, dw2
˜żRdΣ1{2~
XbΣ1{2~
Xıexp ˜´k~
Xk2
2¸d~
X¸ij żRd´Σ1{2~
X¯i´Σ1{2~
X¯j
exp ˜´k~
Xk2
2¸d~
X
żRd`Σ1{2˘ik1Xk1ı`Σ1{2˘jk2Xk2ıexp ˆ´XkXk
2˙d~
X
k1k2
d
ÿ
k0"żRd`Σ1{2˘ik `Σ1{2˘jk `Xk˘2e´X2
k{2e´pXjkXjkq{2d~
X*
d
ÿ
k0"`Σ1{2˘ik `Σ1{2˘jk ?2πżRd´1
e´pXjkXjkq{2*
“ p2πqd{2Σij .
Σ1{2
Σ
M2ρ~
ub~
u`ρΣ2ρE
Σ1{2~
X~c ´~
u
żRdp~c b~c b~cqfd~c ρ
p2πqd{2żRdb3´Σ1{2~
X`~
u¯e´k~
Xk2
2d~
X.
b3´Σ1{2~
X`~
u¯“ b3´Σ1{2~
X¯`3´Σ1{2~
XbΣ1{2~
X¯d~
u`3p~
ub~
uq d ´Σ1{2~
X¯` b3~
u
b d
M3ρpt, ~xq
p2πqd{2"żRdb3´Σ1{2~
X¯e´k~
Xk2
2d~
X`3~
udżRd´Σ1{2~
XbΣ1{2~
X¯e´k~
Xk2
2d~
X
`3p~
ub~
uq d żRd
Σ1{2~
Xe´k~
Xk2
2d~
X` p2πqd{2b3~
u*
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