Exercices Corrigés : Limites en Maths - UGA 2020-2021

DAEU-B – Maths Limites – Corrections des Exercices UGA 2020-2021
Limites – Corrections des Exercices
Exercice no1
Premiers calculs de limites.
a.Limites en +∞(quand xdevient arbitrairement grand).
(a) lim
x→+∞2020 −x
(b) lim
x→+∞
1
2020 −x
(c) lim
x→+∞2020 −1
x
(d) lim
x→+∞3x2+ 2x3
(e) lim
x→+∞3x2+1
x
(f) lim
x→+∞
1
3x2+ 1
(g) lim
x→+∞√3x2+ 1
(h) lim
x→+∞
3
x2−5 x−2
(i) lim
x→+∞
2
√3x−5
Correction :
(a) lim
x→+∞2020 −x=−∞, car xdevient arbitrairement grand, avec un coefficient negatif.
(b) lim
x→+∞
1
2020 −x= 0, car on divise 1par 2020 −x, une quantité arbitrairement grande (né-
gative).
(c) lim
x→+∞2020 −1
x= 2020, car 1 xdevient arbitrairement petit.
(d) lim
x→+∞3x2+ 2x3= +∞, car on ajoute deux quantités, 3x2et 2x3, qui deviennent arbitraire-
ment grandes.
(e) lim
x→+∞3x2+1
x= +∞, car on ajoute, 3x2, une quantité qui deviennent arbitrairement grandes
et 1
x, qui devient arbitrairement petit.
(f) lim
x→+∞
1
3x2+ 1 = 0, car on divise 1par 3x2+ 1, une quantité arbitrairement grande.
(g) lim
x→+∞√3x2+ 1 = +∞, car on met dans la racine carrée une quantité arbitrairement grande,
donc cette racine devient elle aussi arbitrairement grande.
(h) lim
x→+∞
3
x2−5 x−2 = −2car les deux quantités 3 x2et 5 xdeviennent arbitrairement petites,
donc tendent vers 0, et seul reste −2.
(i) lim
x→+∞
2
√3x−5= 0, car la quantité 3x−5devient arbitrairement grande, donc √3x−5
aussi, et donc son inverse devient arbitrairement petit.
—
b.Limites en −∞ (quand xdevient arbitrairement grand dans les négatifs).
(a) lim
x→−∞ 3x2
(b) lim
x→−∞ 2020 −x
(c) lim
x→−∞ 2020 −1
x
(d) lim
x→−∞ 3x2−2x3
(e) lim
x→−∞ 3x2+1
x
(f) lim
x→−∞
1
3x2+ 1
(g) lim
x→−∞ √3x2+ 1
(h) lim
x→−∞
3
x2−5 x−2
(i) lim
x→−∞
2
√5−3x
Correction :
(a) lim
x→−∞ 3x2= +∞, car x2, et donc 3x2, est positif et devient arbitrairement grand.
-1-

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(b) lim
x→−∞ 2020 −x= +∞, car xdevient arbitrairement grand dans les négatif, et est multipliíe
par un coefficient negatif.
(c) lim
x→−∞ 2020 −1
x= 2020, car 1 xdevient arbitrairement petit.
(d) lim
x→−∞ 3x2−2x3= +∞, car on ajoute deux quantités, 3x2et −2x3, qui deviennent arbitrai-
rement grandes.
(e) lim
x→−∞ 3x2+1
x= +∞, car on ajoute, 3x2, une quantité qui deviennent arbitrairement grandes
et 1
x, qui devient arbitrairement petit.
(f) lim
x→−∞
1
3x2+ 1 = 0, car on divise 1par 3x2+1, une quantité arbitrairement grande (positive).
(g) lim
x→−∞ √3x2+ 1 = +∞, car on met dans la racine carrée 3x2+1, une quantité arbitrairement
grande, donc cette racine devient elle aussi arbitrairement grande.
(h) lim
x→−∞
3
x2−5 x−2 = −2, car les deux quantités 3 x2et 5 xdeviennent arbitrairement petites,
donc tendent vers 0, et seul reste −2.
(i) lim
x→−∞
2
√5−3x= 0, car la quantité 5−3xdevient arbitrairement grande, donc √5−3x
aussi, et donc son inverse devient arbitrairement petit.
—
c.Limites en un point (quand xtend vers une valeur finie).
(a) lim
x→2021
1
2020 −x
(b) lim
x→13x2+1
x
(c) lim
x→1√3x2+ 1
(d) lim
x→2
2
√3x−5
(e) lim
x→02−1
x2
(f) lim
x→23x2+ 2x3
Correction :
(a) lim
x→23x2+ 2x3= 28, car 3.22+ 2.23= 3.4+2.8 = 28.
(b) lim
x→13x2+1
x= 4, car 3.12+ 1/1=4.
(c) lim
x→1√3x2+ 1 = 2, car 3x2+ 1 tend vers 3.12+ 1 = 4 et √4=2.
(d) lim
x→2
2
√3x−5= 2, car 3x−5tend vers 3.2−5 = 1 et 2 √1= 2/1=1.
(e) lim
x→2021
1
2020 −x=−1, car 2020 −Xtend vers 2020 −2021 = −1.
(f) lim
x→02−1
x2= +∞, car on divise 1par x2, une quantité arbitrairement grande positive.
—
d.Limites à gauche et à droite d’un point.
(a) lim
x→2+
1
2x−4
(b) lim
x→2−
1
2x−4
(c) lim
x→2+
1
(2x−4)4
(d) lim
x→2−
1
(2x−4)4
(e) lim
x→0+3x2+1
√x
(f) lim
x→1−
3x2+1
√1−x
Correction :
-2-

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(a) lim
x→2+
1
2x−4= +∞, car 2x−4tend vers 0en étant positif, donc 1 2x−4devient arbitrairement
grand dans les positifs.
(b) lim
x→2−
1
2x−4=−∞, car 2x−4tend vers 0en étant négatif, donc 1 2x−4devient arbitraire-
ment grand dans les négatifs.
(c) lim
x→2+
1
(2x−4)4= +∞, car (2x−4)2tend vers 0en étant positif, donc 1 (2x−4)2devient
arbitrairement grand dans les positifs.
(d) lim
x→2−
1
(2x−4)4= +∞, car (2x−4)2tend vers 0en étant positif, donc 1 (2x−4)2devient
arbitrairement grand dans les positifs.
(e) lim
x→0+3x2+1
√x= +∞, car 3x2tend vers 0, tandis que √xtend vers 0en étant positif, donc
1
√xdevient arbitrairement grand dans les positifs.
(f) lim
x→1−
3x2+1
√1−x= +∞, car 3x2tend vers 3, tandis que √1−xtend vers 0en étant positif,
donc 1
√1−xdevient arbitrairement grand dans les positifs.
—
Exercice no2
Déterminer les limites suivantes aux valeurs demandées.
(1). a. lim
x→α−2x3, pour α= 2,+∞et −∞.
b. lim
x→α3√x, pour α= +∞et 4.
Correction :
a. lim
x→α−2x3, pour α= 2,+∞et −∞.
Limite quand xtend vers 2:
lim
x→2x3= 23= 8, donc lim x→2−2x3=−2.8 = −16.
Limite quand xtend vers +∞:
lim
x→+∞x3= +∞, donc, puisque −2<0, on a lim
x→2−2x3=−∞.
Limite quand xtend vers −∞ :
lim
x→−∞ x3=−∞, donc, puisque −2<0, on a lim
x→2−2x3= +∞.
b. lim
x→α3√x, pour α= +∞et 4.
Limite quand xtend vers +∞:
lim
x→+∞√x, donc lim x→+∞3√x= +∞.
Limite quand xtend vers 4:
lim
x→4√x=√4=2, donc lim x→43√x= 3.2=6.
—
(2). a. lim
x→αx3+1
x, pour α= 2,+∞et −∞.
-3-

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b. lim
x→αx3+x2, pour α= 2,+∞et −∞.
c. lim
x→α2x2−3x+√x, pour α= 2 et +∞.
Correction :
a. lim
x→αx3+1
x, pour α= 2,+∞et −∞.
Limite quand xtend vers 2:
lim
x→2x3= 23= 8 et lim x→2
1
x=1 2, donc lim
x→2x3+1
x= 8 ×(−1
2) = −4.
Limite quand xtend vers +∞:
lim
x→+∞x3= +∞et lim x→+∞
1
x= 0, donc on a lim
x→+∞x3+1
x= +∞.
Limite quand xtend vers −∞ :
lim
x→−∞ x3=−∞ et lim x→−∞
1
x= 0, donc on a lim
x→−∞ x3+1
x=−∞.
b. lim
x→αx3+x2, pour α= 2,+∞et −∞.
Limite quand xtend vers 2:
lim
x→2x3= 23= 8 et lim x→2x2= 4, donc lim x→2x3+x2= 8 + 4 = 12.
Limite quand xtend vers +∞:
lim
x→+∞x3= +∞et lim x→+∞x2= +∞, donc on a lim x→+∞x3+x2= +∞.
Limite quand xtend vers −∞ :
lim
x→−∞ x3=−∞ et lim x→−∞ x2= 0, donc lim x→−∞ x3+x2mène à une Forme Indéterminée ’∞−∞’.
Pour lever cette forme indéterminée, on factorise l’expression et on utilise les règles de limite
d’un produit : x3+x2=x3(1 + 1
x)et puisque lim
x→−∞(1 + 1
x) = 1, on obtient lim
x→−∞ x3+x2=
lim
x→−∞ x3(1 + 1
x) = −∞.
c. lim
x→α2x2−3x+√x, pour α= 2 et +∞.
Limite quand xtend vers 2:
lim
x→22x2= 2.22= 8,lim x→2−3x=−3.2 = −6et lim x→2√x=√2, donc lim x→22x2−3x+√x= 8−6+√2 =
2 + √2.
Limite quand xtend vers +∞:
lim
x→+∞2x2= +∞,lim x→+∞−3x=−∞ et lim x→+∞√x= +∞, donc on a une Forme Indéterminée
’∞−∞’.
En factorisant par x2, on obtient 2x2−3x+√x=x22−3
x+1
x√x. Or lim
x→+∞x2= +∞et
lim
x→+∞2−3
x+1
x√x= 2, donc on obtient lim
x→+∞2x2−3x+√x= +∞
—
(3). a. lim
x→αx31
x−1, pour α= 2,+∞et −∞.
-4-

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b. lim
x→α(3x+ 2)(x2−5), pour α= 0,+∞et −∞.
c. lim
x→α
1
x(3 −√x), pour α= 2 et +∞.
Correction :
a. lim
x→αx31
x−1, pour α= 2,+∞et −∞.
Limite quand xtend vers 2:
lim
x→2x3= 23= 8 et lim x→2
1
x−1 = 1 2−1 = −1
2, donc lim
x→2x31
x−1= 8 + 1 2=17 2.
Limite quand xtend vers +∞:
lim
x→+∞x3= +∞et lim x→+∞
1
x−1 = −1, donc, puisque −1<0, on a lim
x→+∞x31
x−1=−∞.
Limite quand xtend vers −∞ :
lim
x→−∞ x3=−∞ et lim x→−∞
1
x−1 = −1, donc, puisque −1<0, on a lim
x→−∞ x31
x−1= +∞.
b. lim
x→α(3x+ 2)(x2−5), pour α= 0,+∞et −∞.
Limite quand xtend vers 0:
lim
x→23x+ 2 = 2 et lim x→2x2−5 = −5, donc lim x→2(3x+ 2)(x2−5) = 2.(−5) = −10.
Limite quand xtend vers +∞:
lim
x→+∞3x+ 2 = +∞et lim x→+∞x2−5 = −1, donc on a lim x→+∞(3x+ 2)(x2−5) = +∞.
Limite quand xtend vers −∞ :
lim
x→−∞ 3x+ 2 = −∞ et lim x→−∞ x2−5=+∞, donc on a lim x→−∞(3x+ 2)(x2−5) = −∞.
c. lim
x→α
1
x(3 −√x), pour α= 2 et +∞.
Limite quand xtend vers 2:
lim
x→2
1
x=1 2et lim
x→23−√x= 3 −√2, donc lim x→2
1
x(3 −√x) = 3−√2
2.
Limite quand xtend vers +∞:
lim
x→+∞
1
x= 0 et lim
x→+∞3−√x=−∞1, donc on obtient une Forme Indéterminée ’0× ∞’.
En développant, on obtient 1
x(3 −√x) = 3 x−1
√x. Or lim
x→+∞
3
x= 0 et lim
x→+∞
1
√x= 0, donc on
obtient lim
x→+∞
1
x(3 −√x) = 3 x−1
√x= 0, par somme de limites.
—
(4). a. lim
x→α1
x−2
2x+ 1 , pour α= 2,+∞et −∞.
b. lim
x→α
2x+ 1
1
x−2, pour α= +∞et −∞.
c. lim
x→α
1/x
2/√x, pour α= +∞.
-5-