Variables aléatoires sur un univers fini - Cours MPSI3

Chapitre 26
Variables aléatoires sur un univers fini
Sommaire
I Notion de variable aléatoire ......................................253
1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
2) Loi d’une VA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
3) Image d’une VA par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
II Lois usuelles ...............................................255
1) Variables certaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
2) Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
3) Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4) Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
III Espérance et variance d’une variable aléatoire ...........................256
1) Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
2) Variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
3) Cas des lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
IV Couples de variables aléatoires ....................................259
1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
2) Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
3) Applications de l’indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4) Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
V Solution des exercices .........................................264
Souvent, lors d’une expérience aléatoire, on ne s’intéresse pas vraiment à l’ensemble des résultats possibles,
mais un aspect particulier du résultat, par exemple : la somme obtenue lors d’un lancer de deux dés, le
temps d’attente du premier pile dans un lancer de pièce etc.
I NOTION DE VARIABLE ALÉATOIRE
1) Définition
Soit Ω un univers fini. Toute application X: Ω→E est appelée variable aléatoire , lorsque E=R , on dit
que X est une variable aléatoire réelle (notée VAR). Lorsque X est constante, on parle de VA constante
ou de variable aléatoire certaine.
Définition 26.1
Remarque 26.1 –
– Notons qu’une variable aléatoire n’est une pas une variable en réalité, mais une application, et n’a rien
d’aléatoire!
– L’ensemble des images X(Ω)est un ensemble fini qu’on note parfois X(Ω)={x1,...,xn}.
ZExemples :
– Expérience : on lance deux dés, on note X la somme des chiffres obtenus.
Univers : Ω=J1;6K, X(Ω)=J2;12K.
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Notion de variable aléatoire Chapitre 26 : Variables aléatoires sur un univers fini
– Expérience : on lance nfois une pièce, on note X le numéro du lancer où apparaît un pîle la première
fois.
Univers : Ω={P,F}n, X(Ω)=J0;nK.
Soit A un événement, l’application 1A:Ω→R définie par 1A ( ω ) =(1si ω∈A
0sinon
est la variable indica-
trice de A.
Définition 26.2 (variable indicatrice d’un événement)
Remarque 26.2 –
– L’ensemble des VAR sur Ω est F ( Ω,R )qui a une structure de R -espace vectoriel et d’anneau pour les lois
usuelles.
– Si X: Ω→E est une VA et u: E →F est une application, alors u◦X est une VA sur Ω , elle est généralement
notée u(X).
Événements liés à une VA
– Si X: Ω→E est une VA, si A est une partie de E alors X−1 ( A ) est un événement, on le note généralement
(X ∈A), on a donc (X ∈A) ={ω∈Ω/ X(ω)∈A}.
– Plus généralement, si P ( x ) désigne une propriété définie sur E , l’événement
{ω∈Ω/ P(X(ω))}
est noté
(X vérifie P).
– Dans le cas particulier d’une VAR, on écrit pour tout x∈R : ( X6x ) ={ω∈Ω/ X(ω)6x} ; ( X>x ) =
{ω∈Ω/ X(ω)>x}; etc. En particulier (X 6x)=(X <x)∪(X =x).
2) Loi d’une VA
Si X est une VA sur ( Ω,P ), l’application PX:P ( X ( Ω )) → [0;1] définie par PX ( A ) =P ( X∈A )pour toute
partie Ade X(Ω), est une probabilité sur X(Ω), on l’appelle loi de X.
Théorème 26.1
Preuve : On a PX ( X ( Ω )) =P ( X∈X ( Ω )) =P ( Ω ) = 1. Soient A et B deux parties disjointes de X ( Ω ) alors X−1 ( A ) et X−1 ( B ) sont
deux événements incompatibles de Ω , donc PX ( A∪B ) =P ( X−1 ( A∪B )) =P ( X−1 ( A ) ∪X−1 ( B )) =P ( X−1 ( A )) +P ( X−1 ( B )) =
PX(A) +PX(B). 
Remarque 26.3 – Si Aest une partie de X(Ω)alors P(X ∈A) =PX(A) =P
x∈APX({x})=P x∈AP(X =x).
Déterminer la loi de X , c’est déterminer X ( Ω ) et pour tout x∈X ( Ω ), la probabilité P ( X=x ). On
remarquera que si X est une VA sur l’univers fini Ω , alors la famille d’événements (( X=x ))
x∈X(Ω)
est
un système complet d’événements.
À retenir
Il est clair que ces événements sont incompatibles deux à deux et que :
X
x∈(Ω)
P(X =x)=P([
x∈X(Ω)
(X =x)) =P(Ω)=1
Remarque 26.4 – Parfois on ne connaît pas exactement X ( Ω )mais un ensemble E contenant X ( Ω ), dans ce cas,
pour x ∉X(Ω)on trouve P(X =x)=0.
FExercice 26.1 On lance un dé deux fois, on note Xla somme obtenue. Déterminer la loi de X.
FExercice 26.2 Soit X un VAR à valeurs entières, montrer que P ( X=k ) =P ( X6k ) −P ( X6k− 1) =P ( X>k )) −P ( X>k+ 1).
3) Image d’une VA par une fonction
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Lois usuelles Chapitre 26 : Variables aléatoires sur un univers fini
Soit X une VA sur ( Ω,P )et u une fonction définie sur X ( Ω ), notons Y=u◦X et X ( Ω ) ={x1,...,xn} ,
alors :
∀y∈Y(Ω),P(Y =y)=X
x∈u−1({y})
P(X =x)
Théorème 26.2
Preuve : En effet, (Y =y)=©ω∈Ω/u◦X(ω)=yª=(X ∈u−1(©yª)). 
FExercice 26.3 On lance un dé successivement deux fois, on note X le premier résultat moins le deuxième, déterminer la
loi de X, de |X|et de X2.
Comme on le voit dans l’exemple ci-dessus, deux VA peuvent avoir la même loi sans être égales pour autant!
Attention!
Remarque 26.5 – Si Xet Ysont deux VA sur (Ω,P)alors on peut définir les lois de X+Yet de XY :
P(X +Y=z)=X
(x,y)∈Iz
P((X =x)∩(Y =y)) où Iz=©(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω) / x+y=zª
P(XY =z)=X
(x,y)∈Iz
P((X =x)∩(Y =y)) où Iz=©(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω) / xy =zª
II LOIS USUELLES
1) Variables certaines
Une VA est dire certaine lorsqu’elle est constante, auquel cas on a X(Ω)={x1}et donc P(X =x1)=1.
Définition 26.3
2) Loi uniforme
On dit que la VA X suit une loi uniforme sur X ( Ω ) ={x1,...,xn} lorsque ∀k∈J 1; nK,P ( X=xk ) =1
n
. Ce
que l’on note X,→U(X(Ω)).
Définition 26.4
ZExemple : On lance un dé parfait, on note X le chiffre obtenu alors X ,→U(J1;6K).
3) Loi de Bernoulli
Soit p∈ [0;1] et q= 1 −p . On dit que la VA X suit une loi de Bernoulli de paramètre p , lorsque sur
X(Ω)={0,1},P(X =1) =pet P(X =0) =q. Ce que l’on note X,→B(p).
Définition 26.5
Remarque 26.6 – Cette loi est utile pour les expériences aléatoires ayant deux issues possibles : succès avec
probabilité p ou bien échec avec une probabilité de 1−p, ce que l’on appelle des épreuves de Bernoulli.
ZExemple : La variable indicatrice d’un événement A suit une loi de Bernoulli de paramètre p=P(A).
Remarque 26.7 – Si Xet Ysont deux VA qui suivent une loi de Bernoulli, alors XY également.
4) Loi binomiale
Soient n∈N , p∈ [0;1] et q= 1 −p . On dit que la VA X suit une loi binomiale de paramètres n et p ,
lorsque sur X(Ω)=J0;nK, et ∀k∈J0;nK,P(X =k)=¡n
k¢pk(1−p)n−k. Ce que l’on note X,→B(n,p).
Définition 26.6
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Espérance et variance d’une variable aléatoire Chapitre 26 : Variables aléatoires sur un univers fini
On vérifie qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité sur J0;nK.
La loi binomiale apparaît quand on considère le nombre X de succès dans une suite de n épreuves de
Bernoulli mutuellement indépendantes et dans lesquelles la probabilité du succès est p∈[0;1].
À retenir
En effet, on a X ( Ω ) =J 0; nK et l’événement ( X=k ) est l’ensemble des n -uplets de 1 ou 0 contenant k fois
le nombre 1, il y en a
¡n
k¢
, la probabilité de chacun d’eux est pk (1 −p )
n−k
car les épreuves sont mutuellement
indépendantes, d’où P(X =k)=¡n
k¢pk(1−p)n−k.
ZExemples :
– On effectue n tirages successifs avec remise dans une urne contenant des boules blanches et noires
dans des proportions de p et q= 1 −p . On note X le nombre de boules blanches obtenues, alors
X,→B(n,p).
– Une pièce donne face avec une probabilité p et pile avec une probabilité q= 1 −p . On effectue n lancers
dans les mêmes conditions à chaque fois, on note X le nombre de faces obtenus, alors X ,→B(n,p).
III ESPÉRANCE ET VARIANCE D’UNE VARIABLE ALÉATOIRE
1) Espérance
L’espérance d’une variable aléatoire Xest le réel noté E(X) et défini par :
E(X) =P
x∈X(Ω)xP(X =x).
Lorsque son espérance est nulle, on dit que la variable aléatoire Xest centrée.
Définition 26.7
Remarque 26.8 – Il s’agit de la moyenne pondérée des valeurs prises par X , car la somme des probabilités vaut
1.
ZExemples :
– On lance un dé équilibré, X est le numéro de la face supérieure, E(X) =
6
P
i=1
i
6=21 6=7 2.
– Si A est un événement, l’espérance de l’indicatrice de A est E(1A)=P(A).
– L’espérance d’une variable certaine est la constante.
Si Xest une variable aléatoire sur (Ω,P)alors E(X) =P
ω∈Ω
X(ω)P({ω}).
Théorème 26.3
Preuve : Soit X ( Ω ) =©x1,...,xpª , soit Ak=X−1 (
©xkª
), alors ( A1,...,Ap ) est un système complet d’événements et P ( Ak ) =
P
ω∈Ak
P({ω}). On a donc :
X
ω∈Ω
X(ω)P({ω})=
p
X
k=1ÃX
ω∈Ak
X(ω)P({ω})!
=
p
X
k=1ÃX
ω∈Ak
xkP({ω})!
=
p
X
k=1
xkÃX
ω∈Ak
P({ω})!
=
p
X
k=1
xkP(Ak)=
p
X
k=1
xkP(X =xk)=E(X).
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Espérance et variance d’une variable aléatoire Chapitre 26 : Variables aléatoires sur un univers fini
Si Xet Ysont deux variables aléatoires sur (Ω,P)alors pour tout réel λ:
E(λX+Y) =λE(X) +E(Y).
Théorème 26.4 (linéarité de l’espérance)
Preuve : En utilisant le résultat du théorème précédent, on a :
E(λX+Y) =X
ω∈Ω
[λX(ω)+Y(ω)]P({ω})=λX
ω∈Ω
X(ω)P({ω})+X
ω∈Ω
Y(ω)P({ω})=λE(X)+E(Y).
Si X est une variable aléatoire alors X−E ( X ) est une variable aléatoire centrée . C’est la variable aléatoire
centrée associée à X.
À retenir
FExercice 26.4 Une urne contient n boules numérotées de 1à n , on les tire successivement et sans remise, on dit qu’il y a
rencontre au tirage i lorsque la boule tirée est la boule numéro i. Déterminer le nombre moyen de rencontres.
Si Xest une variable aléatoire positive ou nulle sur (Ω,P)alors :
•E(X) >0(positivité).
•E(X) =0⇐⇒ P(X =0) =1, on dit que la variable Xest presque sûrement nulle.
Théorème 26.5 (positivité de l’espérance)
Preuve : Le premier point découle de la définition d’espérance E ( X ) =
n
P
k=1xkP
( X=xk ), car chaque valeur xk de X est
positive ou nulle et les probabilités aussi. Si cette somme est nulle, alors tous les termes doivent être nuls, X prend donc
nécessairement la valeur 0 (sinon E ( X ) > 0 car les probabilités ne peuvent pas être toutes nulles) et pour xk6= 0 on a
forcément P ( X=xk ) = 0), ce qui entraîne que P ( X= 0) = 1 puisque la somme des probabilités doit faire 1. La réciproque
est immédiate. 
Si Xet Ysont deux variables aléatoires réelles définies sur (Ω,P)telles que X6Y, alors E(X) 6E(Y).
Théorème 26.6 (croissance de l’espérance)
Preuve : La variable Z=Y−X est positive, donc E ( Z ) > 0, la linéarité permet alors d’écrire E ( Y ) −E ( X ) > 0 ce qui donne
le résultat. 
Pour tout variable aléatoire positive Xon a :
∀a>0,P({X>a})6E(X)
a.
Théorème 26.7 (inégalité de Markov)
Preuve : Notons A ={x∈X(Ω) / x>a}, A ⊂X(Ω) donc :
E(X) =P
x∈X(Ω)xP(X =x)>P
x∈AxP(X =x)>aP x∈AP(X =x)=aP(A), d’où P(A) 6E(X)
a.
Remarque 26.9 – On peut aussi montrer l’inégalité de Markov en remarquant que 1X>a6X
a
et utiliser la
croissance de l’espérance.
Si Xest une variable aléatoire sur (Ω,P)et si uest une application de X(Ω)vers R, alors :
E(u(X)) =P
x∈X(Ω)u(x)P(X =x).
Théorème 26.8 (de transfert)
Preuve : Posons X ( Ω ) ={x1,...,xn} et Ak=X−1 (
©xkª
), alors ( A1,...,An ) est un système complet d’événements de Ω , et
on a :
E(u(X)) =X
ω∈Ω
u(X(ω))P({ω})
=
n
X
k=1ÃX
ω∈Ak
u(X(ω))P({ω})!=
n
X
k=1
u(xk)ÃX
ω∈Ak
P({ω})!
=
n
X
k=1
u(xk)P(Ak)=
n
X
k=1
u(xk)P(X =xk)
=X
x∈X(Ω)
u(x)P(X =x)
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