Mécanique du point : Résumé de cours et problèmes résolus

TABLES DES MATI` ERES
1 R´esum´e de M´ecanique du point 3
1.Cin´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.Oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.Syst`eme isol´e de deux points – Forces centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.Dynamique terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Probl`eme : ´ Etude dans deux r´ef´erentiels 15
1.´ Etude dans le r´ef´erentiel du laboratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.´ Etude dans un r´ef´erentiel R′en rotation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Corrig´e : ´ Etude dans deux r´ef´erentiels 17
1.´ Etude dans le r´ef´erentiel du laboratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.´ Etude dans un r´ef´erentiel R′en rotation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Probl`eme : Anneau sur un cercle en rotation 21
1.´ Etude cin´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.´ Etude dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.´ Etude ´energ´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.´ Etude de l’´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Corrig´e : Anneau sur un cercle en rotation 23
1.´ Etude cin´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.´ Etude dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.´ Etude ´energ´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.´ Etude de l’´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6 Probl`eme : Oscillateur 27
1.Oscillations sans frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.Oscillations forc´ees avec amortissement fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7 Corrig´e : Oscillateur 29
1.Oscillations sans frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.Oscillations forc´ees avec amortissement fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8 Probl`eme : Syst`eme isol´e de deux points 37
1.Mouvement du centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.Mobile fictif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.Mouvement du mobile fictif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1

9 Corrig´e : Syst`eme isol´e de deux points 41
1.Mouvement du centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.Mobile fictif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.Mouvement du mobile fictif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
10 Probl`eme : Satellite 47
1.Analyse qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.´ Etude de la trajectoire circulaire du satellite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
11 Corrig´e : Satellite 49
1.Analyse qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.´ Etude de la trajectoire circulaire du satellite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
12 Probl`eme : Changement d’orbite d’un satellite 53
1.Satellite artificiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.Changement d’orbite d’un satellite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13 Corrig´e : Changement d’orbite d’un satellite 57
1.Satellite artificiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.Changement d’orbite d’un satellite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
14 Probl`eme : Dynamique terrestre 63
1.R´ef´erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.´ Equation fondamentale de la dynamique terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.Terme principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.Terme diff´erentiel ou de mar´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.Les autres termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.Applications : Pendule de Foucault - D´eviation vers l’est et vers le sud . . . . . . . . . . . . . 66
15 Corrig´e : Dynamique terrestre 69
1.R´ef´erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.´ Equation fondamentale de la dynamique terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.Terme principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.Terme diff´erentiel ou de mar´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.Les autres termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.Applications : Pendule de Foucault - D´eviation vers l’est et vers le sud . . . . . . . . . . . . . 72
16 Probl`eme : Dur´ee des saisons 77
1.Propri´et´es g´en´erales du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.´ Etude de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.P´eriode temporelle du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
M.Lotfi 2

1
R´esum´e de M´ecanique du point
1.Cin´ ematique
1.1.Notion de point mat´eriel et de r´ef´erentiel
On appelle point mat´eriel ou corps ponctuel un syst`eme m´ecanique dont les dimensions sont petites devant
les distances caract´eristiques du mouvement ´etudi´e (distance parcourue, rayon d’une orbite...). Le syst`eme
m´ecanique est alors mod´elis´e par un point g´eom´etrique Mauquel est associ´ee sa masse m.
Un r´ef´erentiel est un rep`ere muni d’une base de temps.
Un r´ef´erentiel est dit galil´een si la premi`ere loi de Newton est y applicable.
Tout r´ef´erentiel en translation rectiligne uniforme par rapport `a un r´ef´erentiel galil´een est aussi galil´een.
1.2.Rep´erage du point
Un point mat´eriel Mest rep´er´e, dans un r´ef´erentiel R, par son vecteur −−→ OM qui peut s’´ecrire, selon le syst`eme
de coordonn´ees utilis´e, sous la forme :
•Dans un syst`eme de coordonn´ees cart´esiennes M(x, y, z):−−→ OM =x−→ ex+y−→ ey+z−→ ez
•Dans un syst`eme de coordonn´ees cylindriques M(r, θ, z):−−→
OM =r−→ er+z−→
ez
•Dans un syst`eme de coordonn´ees sph´eriques M(r, θ, ϕ) : −−→
OM =r−→ er
1.3.Vitesse et acc´el´eration
1.3.1.Vitesse
−→
v(M/R) = d−−→
OM
dt !/R
•En coordonn´ees cart´esiennes : −→ v(M/R) = ˙x−→ ex+ ˙y−→ ey+ ˙z−→ ez
•En coordonn´ees cylindriques : −→ v(M/R) = ˙r−→ er+r˙ θ−→ eθ+ ˙z−→ ez
•En coordonn´ees sph´eriques : −→ v(M/R) = ˙r−→ er+r˙ θ−→ eθ+r˙ϕsin θ−→ eϕ
Dans la base de projection de Frenet
−→
v=v−→ uT=ds
dt
−→
uT
avec :
s: l’abscisse curviligne
−→
uT=d−−→
OM
ds : vecteur tangent `a la trajectoire orient´e selon un sens choisi en g´en´eral le sens du mouvement.
−→
uN=Rcd−→
uT
ds : le vecteur normal `a −→
uTorient´e vers le centre de la courbure.
Rc: le rayon de courbure de la trajectoire au point consid´er´e
3