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Gauché LVD
Liste verte démocratique FST
Table des matières
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Chapitre 1
LES NOMBRES REELS
Ce support est inspiré du cours de P C1de Monsieur Mamadou Thiam[?]
1.1 L’ensemble N
Nest l’ensemble des entiers naturels 0,1,2,3,4,5, ...,.
Dans N,tout entier na un successeur n+ 1 ; Tout entier ndifférent de 0admet un
prédécesseur n−1.
L’insuffisance de Nvient de l’impossibilité d’y résoudre une équation de la forme
x+ 7 = 3 i.e. de pouvoir effectuer toutes les soustractions.
Etant donné deux entiers naturels aet bnous savons calculer la somme a+b(aet b
sont les termes de cette somme) et le produit a×b(aet bsont les facteurs de ce
produit) qui sont encore des entiers naturels.
1.2 L’ensemble Z
Zest l’ensemble des entiers relatifs ... −3,−2,−1,0,1,2, ...
Tout entier relatif possède un successeur et un prédécesseur. L’ensemble Zcontient
bien l’ensemble N.
Dans Z,tout entier aadmet un opposé −a. Il est cependant impossible de résoudre
dans Zune équation comme 3x+ 5 = 0 ,i.e. d’y effectuer toutes les divisions.
Pour pallier à cette impossibilité, on a construit Q.
1.3 L’ensemble Q
Qest l’ensemble des nombres rationnels , c’est à dire des nombres de la forme p
q
où qest un entier strictement positif et pun entier relatif.
Les fractions 8
15 et d’une façon générale 8m
15moù mest un entier non nul quelconque
représentant le même nombre rationnel. On préférera la forme 8
15 que l’on appelle forme
irréductible ; le numérateur et le dénominateur étant premiers entre eux.
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L’addition de deux rationnels est définie par :
p
q+p0
q0=pq0+qp0
qq0
et la multiplication est définie par
p
q×p0
q0=p.p0
qq0.
L’écriture 1,359 représente aussi un nombre rationnel, à savoir 1359
1000.On sait que
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3= 0,3333.... une calculatrice montre que 89
14 = 0,357 142 857 142 857... ou le groupe
142857 se répète indéfiniment. Nous pouvons donc caractériser les nombres rationnels par
leur développement décimal :
Qest exactement l’ensemble des nombres dont le développement décimal est périodique à
partir d’un certain rang .
Il est impossible de résoudre dans Ql’équation x2−2 = 0.
Démonstration. Voir [?]
Pour le voir, on peut raisonner par l’ absurde en supposant qu’il existe une fraction
irréductible p
qdont le carré est égal à 2, c’est à dire telle que p2= 2q2.
Alors pest paire parce que p2est paire, donc il existe un entier ntel que p= 2n.
La relation p2= 2q2devient 2n2=q2et le même raisonnement montre que qaussi est
paire.
"La fraction p
qest irréductible, pet qsont tous les deux paires" est une contradiction.
Pourtant lorsque l’on trace la courbe représentative de la fonction
x7→ x2−2, on voit bien qu’elle traverse l’axe des abscisses ! ! !
0 1 2−1−2
0
1
−1
−2
Les mathématiciens ont donc construit l’ensemble R,pour combler ces lacunes.
1.4 L’ensemble R
Rest un ensemble beaucoup "plus gros" que Q.
Il est formé des nombres rationnels et des nombres irrationnels , ceux qui n’appar-
tiennent pas à Q.
Un nombre irrationnel a un développement décimal illimité et non périodique.
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Exemple 1.1. : les nombres suivants
π= 3,14159......, √3 = 1,73205, .... e = 2,712 81828 . . . , √2 = 1,4142 135 . . . .
sont irrationnels
1.5 Structures algébriques de Z,Q,R
1.5.1 Groupe additif
Que ce soit dans Z,Qou R,l’addition possède les propriétés suivantes :
Pour tous a, b, c de chacun de ces trois ensembles on a :
a+b=b+acommutativité
a+ (b+c) = (a+b) + cassociativité
a+ 0 = 0 + a=a0est élément neutre
a+ (−a) = 0 existence d’un opposé
On dit que l’addition donne une structure de groupe commutatif, à chacun des en-
sembles Z,Qet R.
1.5.2 Anneau
La multiplication possède les propriétés suivantes dans Z,et R:pour tous a, b, c de
chacun de ces trois ensembles on a
a×b=b×acommutativité
a×(b×c) = (a×b)×cassociativité
a×1 = 1 ×a=a1est élément neutre
a×(b+c) = a×b+a×cdistributivité par rapport à l’addition
On dit que l’addition et la multiplication confèrent à Z,Qet Rune structure d’anneau
commutatif .
1.5.3 Corps
Dans Qet Rla multiplication possède une propriété supplémentaire : tout élément x
diffèrent de 0admet un inverse (le nombre 1
x). L’ensemble Q∗,i.e. Qprivé de 0ainsi
que R∗sont des groupes multiplicatifs : la multiplication est commutative, associative, 1
est élément neutre et tout élément (forcément non nul) admet un inverse.
On dit que l’addition et la multiplication confèrent à Qet Rune structure de corps
commutatif.
Dans la suite du cours nous emploierons souvent la terminologie " le corps des réels "
pour désigner R.
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