LA MAISON DE LA SAGESSE TERMINALE S1 2024-2025
P4 : GRAVITATION UNIVERSELLE
EXERCICE 1
1. Montrer qu’aux basses altitudes le champ de gravitation terrestre peut s’écrire sous la forme :
g(z) = g0×(1 −2z
RT)
2. Montrer que le champ de gravitation terrestre à la surface de la Terre n’est pas rigoureusement
égal au champ de pesanteur.
3. Montrer que pour un référence à l’infini, l’énergie potentielle gravitationnnelle d’un satellite
de masse m gravitant sur une orbite de rayon r autour de la Terre s’écrit, pour une référence à
l’infini, sous la forme : Ep=−KMTm
r2
EXERCICE 2
Dans le référentiel géocentrique un satellite évolue sur une orbite circulaire de rayon r1= 20000km
dans le plan équatorial terrestre. Il se déplace d’Ouest en Est.
La période du mouvement de rotation de la Terre dans ce référentiel est T = 86164 s.
1. Montrer que le mouvement du satellite est uniforme.
2. Etablir l’expression puis calculer la vitesse du satellite dans le référentiel géocentrique.
3. En déduire l’expression de la période du mouvement du satellite puis la calculer.
4. Quelle est, pour un observateur terrestre, la période de révolution du satellite évoluant sur
l’orbite de rayon r′
1= 20000km ?
5. Un autre satellite évolue dans le plan équatorial terrestre sur une orbite de rayon r2= 18000km
dans le même sens que le premier.
5.1. A l’aide d’un schéma, indiquer les positions des deux satellites quand la distance qui les
sépare est minimale.
5.2. Ce rapprochement entre les deux satellites se répète périodiquement. Calculer la période θ
de ces rapprochements.
EXERCICE 3
La Terre est assimilée à une sphère homogène de centre O de masse M et de rayon R.
Le champ de gravitation créé par la Terre en tout point A de l’espace situé à une distance r du
point O est : ⃗g=−KM
r2⃗uoù K est la constante universelle de gravitation et ⃗u=⃗OA
||⃗OA||
1. Un satellite (S) de masse m décrit d’un mouvement uniforme une orbite circulaire de rayon r
autour de la Terre. Le mouvement est rapporté au repère géocentrique et on suppose que (S) est
soumis à la seule action du champ de gravitation terrestre.
1.1. Exprimer la vitesse v de (S) en fonction de l’intensité g0du champ de gravitation au sol de
R et r.
1.2. En déduire l’expression de la période T du mouvement. Calculer T pour r = 8000 km.
2. Le travail élémentaire de la force de gravitation est donné par dW=−→
F.−→
dr.
2.1. Montrer que le travail de la force de gravitation lors du déplacement du satellite du sol jusqu’à
l’orbite de rayon r est donnée par : W=mg0(1
R2−1
r2).
2.2. En déduire l’expression de l’énergie potentielle du système satellite + Terre en fonction de
g0, m, r et R. On choisira le niveau du sol comme niveau de référence pour l’énergie potentielle.
2.3. Exprimer l’énergie cinétique du satellite en fonction de g0, m, r et R.
3. Il se produit une très faible variation dr du rayon r, telle que la trajectoire puisse toujours être
considérée comme circulaire.
3.1. Exprimer la variation dv de la vitesse qui en résulte et montrer que dv =−π
Tdr .
3.2. La variation dr est en réalité due au travail des forces de frottement exercées par les couches
1 M. NIASSE _ LMMD
raréfiées de l’atmosphère pendant le déplacement. Du signe de dW(−→
f), déduire l’effet de ces
forces sur l’altitude h et la vitesse du satellite.
EXERCICE 4
Données :
— Masse de la Terre : MT= 5,97.1024 kg ;
— Rayon de la Terre : RT= 6370 km.
— Masse du satellite : m = 650 kg ;
— Constante de gravitation : G = 6,67.10−11N.m2.kg−2.
SPOT est un satellite de télédétection. Il évolue à l’altitude h = 832 km sur une trajectoire
circulaire contenue dans un plan passant par l’axe des pôles de la Terre. Un tel satellite est appelé
satellite à défilement.
1.Montrer que le mouvement du satellite est uniforme. Donner alors l’expression de sa vitesse V
en fonction de G, MT,RTet h. Faire l’application numérique.
2. Etablir l’expression de la période de révolution du satellite SPOT en fonction de G, MT,RT
et h.
3. Calculer l’angle de rotation de la Terre pendant une révolution du satellite. Pourquoi dit-on
qu’un tel satellite est un satellite à défilement ?
4. Dans le champ de gravitation terrestre l’énergie potentielle du satellite est donnée par :
Ep=−GMTm
ravec r=RT+h.
4.1. Où a-t-on choisi la référence de l’énergie potentielle de gravitation ? Justifier la réponse.
4.2. Exprimer l’énergie mécanique du satellite en fonction de G, MT, m, RTet h puis en fonction
de m et V, vitesse du satellite.
4.3. Calculer l’énergie mécanique du satellite à l’altitude h.
5. Le satellite SPOT est équipé d’un moteur permettant de corriger sa trajectoire.
5.1. Montrer que si le moteur fonctionne, toute variation ∆Emde l’énergie mécanique du satellite
s’accompagne de variation simultanée ∆hde son altitude et ∆Vde sa vitesse.
5.2. En utilisant les résultats des questions précédentes, exprimer la variation d’altitude ∆h et la
variation de vitesse ∆V corrélatives à une variation d’énergie mécanique ∆Em.
Calculer ces variations pour ∆Em= 5 MJ. On prendra h = 832 km et on utilisera les valeurs
numériques trouvées précédemment pour V et Em.
EXERCICE 5
Les questions 3.2 et 3.3 sont indépendantes de la question 3.1.
Données : G0= 9,8 m.s−2;RT= 6370 km ; K= 6,67.10−11S.I ;MT= 5,98.1024 kg
Le premier lanceur Ariane est une fusée à trois étages qui pèse, avec sa charge utile (satellite),
208 tonnes au décollage.
Le premier étage qui fonctionne pendant 145 secondes est équipé de 4 moteurs Viking V alimentés
par du peroxyde d’azote N2O4(masse de peroxyde emportée : 147,5 tonnes). L’intensité de la
force de poussée totale −→
Fest constante pendant le fonctionnement des réacteurs et vaut F =
2445 kN.
Ce lanceur peut mettre en orbite circulaire basse de 200 km d’altitude un satellite de 4850 kg ; il
peut également placer sur une orbite géostationnaire un satellite ; comme il peut placer en orbite
héliosynchrone des satellites très utiles pour des applications météorologiques.
3.1. Etude du mouvement d’ascension de la fusée.
On étudie le mouvement de la fusée dans le référentiel terrestre qu’on suppose galiléen.
L’accélération du champ de pesanteur est supposé constante dans le domaine étudié et son inten-
sité est : g0= 9,8m.s−2. On choisit un axe Oz vertical dirigé vers le haut.
On néglige les frottements et la poussée d’Archimède dans l’air ainsi que l’action des autres pla-
nètes.
2 M. NIASSE _ LMMD
La fusée Ariane s’élève verticalement sous l’action de la force de poussée −→
Fdue à l’éjection des
gaz.
Cette force est donnée par : −→
F=µ−→
VE, relation où −→
VEest la vitesse d’éjection des gaz par
rapport à la fusée et µle débit constant des gaz qui s’exprime par : µ=−dm
dt avec - dm la masse
de gaz éjectée pendant la durée dt.
3.1.1. On désigne par m0la masse de la fusée à la date t = 0, début de l’ascension et m la masse
de la fusée à la date t . Montrer que :m=m0−µ.t.
3.1.2. Calculer, à l’aide des données numériques utiles fournies en début d’énoncé, le débit des
gaz µet la norme VEde la vitesse d’éjection des gaz.
3.1.3. Appliquer le théorème du centre d’inertie à la fusée et en déduire l’expression du vecteur
accélération −→
aen fonction du poids −→
Pde la fusée, de m et de la force de poussée −→
F.
3.1.4. En déduire que la norme de −→
as’écrit a(t) = µVE
m0−µt −g0. Le mouvement de la fusée est-il
uniformément accéléré ? Justifiez sans calcul.
3.2. Étude du mouvement d’un satellite artificiel situé à basse altitude (h = 200 km)
On suppose que la Terre, de masse MT, de rayon RTet de centre 0, est une sphère et qu’elle
présente une répartition de masse à symétrie sphérique et que le satellite peut être assimilé à un
point matériel.
Le satellite artificiel S, de masse ms, décrit une orbite circulaire de rayon r autour de la Terre.
On suppose que le satellite est soumis uniquement à la force gravitationnelle exercée par la Terre.
On notera K, la constante de gravitation universelle.
3.2.1. Exprimer l’intensité du champ de gravitation terrestre G(h) en fonction de MT,RT, h et
K puis en fonction de RT, h et G0(G0étant l’intensité du champ de gravitation terrestre au sol).
3.2.2. Montrer que le mouvement du satellite dans le référentiel géocentrique est uniforme.
3.2.3. En déduire l’expression de la vitesse Vsdu satellite en fonction de G0,RTet h puis celle de
sa période de révolution Ts.
3.2.4. Calculer Vset TSsachant que G0= 9,8 N.kg−1; h = 200 km etRT= 6400 km.
3.3. METEOSAT 8 : un satellite géostationnaire.
Les satellites météorologiques comme Météosat sont des appareils d’observation géostationnaires.
Ce satellite a été lancé par ARIANE 5 le 28 août 2002. Il est opérationnel depuis le 28 janvier
2004. Il fournit de façon continue des informations couvrant une zone circulaire représentant en-
viron 42 % de la surface de la Terre.
3.3.1. Préciser les conditions à remplir par METEOSAT 8 pour qu’il soit géostationnaire.
3.3.2. En déduire, pour METEOSAT 8, la valeur du rayon RT+hde son orbite puis celle de son
altitude h.
EXERCICE 6
On assimile la Terre à une sphère de rayon RT= 6378 km et de masse volu-
mique uniforme ρ= 5,5.103kg.m−3. Soit K= 6,67.10−11 S.I. la constante de
gravitation universelle.
On imagine un tunnel rectiligne entre deux villes A et B quelconques de la
surface terrestre, et un train roulant sans frottement dans ce tunnel. Dans
tout l’exercice, on négligera l’effet de rotation de la Terre.
Le wagon supposé ponctuel quitte le point A sans vitesse initiale. Sous l’action de la pesanteur
il va accélérer, jusqu’au milieu du tunnel, puis décélérer dès qu’il atteigne la distance de moindre
approche du centre O de la Terre (voir figure). Soit x la distance entre le train et le milieu I du
tunnel.
1. Exprimer x en fonction de r et α.
2. Donner l’expression de l’intensité de la force gravitationnelle agissant sur le train en fonction
de la masse m du train, de la masse volumique ρde la Terre et de la distance r séparant le train
du centre de la Terre.
3. Montrer le mouvement du centre d’inertie du train vérifie l’équation différentielle avec ωune
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constante à exprimer en fonction de K et ρ.
4. En déduire l’équation horaire x(t) du mouvement du train dans le tunnel en fonction de h, RT,
ωet t.
5. Déterminer la valeur de la vitesse maximale atteinte par le point P sur le trajet. En quel point
cette vitesse est-elle atteinte ?
6. En combien de temps le train atteint-il le point B ? Commenter ce résultat.
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