TD Satellites Exercice N°1 : Satellite géostationnaire 1. Calculer le rayon de la trajectoire d’un satellite géostationnaire connaissant le champ de gravitation g = 9,80 m.s-2 à la surface de la Terre et le rayon de celle-ci : R = 6380 km. 2. Calculer la vitesse de ce satellite. 3. Calculer l’énergie à fournir pour satelliser ainsi une masse m = 1 kg depuis un point de l’équateur. L’énergie potentielle de la masse située à une distance r du centre de la Terre est égale à : Ep = -GMm / r Exercice N°2 : Lancement d’un satellite A t=0, une fusée à un étage de masse m0 décolle. On définit : le débit massique des gaz brûlés = dm / dt ( est supposé constant) la vitesse d’éjection des gaz par rapport à la fusée u > 0 (u est supposé constant) On suppose que g reste uniforme lors du lancement. 1. En prenant pour système la fusée à l’instant t, exprimer sa masse et sa vitesse aux instants t et t + dt 2. Exprimer la masse et la vitesse du gaz éjecté entre ces 2 instants 3. En utilisant la 2ème loi de Newton pour l’ensemble fusée + gaz, montrer que la vitesse de la fusée vérifie l’équation différentielle suivante : m dv / dt = u – mg 4. Définir la force de poussée. A quelle condition la fusée décolle-t-elle ? 5. Résoudre cette équation en exprimant v en fonction de t. Déterminer la vitesse maximale. A quelle condition la vitesse peut-elle atteindre des valeurs élevées pour une fusée à un étage ? Exercice N°3 : Satellite en orbite Le 12 avril 1961, le commandant soviétique Youri Gagarine fut le premier cosmonaute. Le vaisseau spatial satellisé était un engin de masse m = 4725 kg. Les altitudes du périgée P et de l’apogée A étaient respectivement zP = 180 km et zA = 327 km. L’énergie mécanique pour une trajectoire elliptique de demi grand axe a est égale à Em = -GmM / 2a 1. Calculer les caractéristiques de l’orbite du vaisseau spatial : demi grand axe a, période T, excentricité e. 2. Exprimer la vitesse v de ce satellite à son passage à l’altitude z en fonction de z, zP, zA, de la masse M, du rayon R de la Terre et de la constante de gravitation G. 3. Application numérique : M = 6.1024 kg, R = 6380 km, G = 6,67.10-11 SI. Calculer v en A et en P.