Satellites

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Exercice N°1 : Satellite géostationnaire
1. Calculer le rayon de la trajectoire d’un satellite géostationnaire connaissant le champ de
gravitation g = 9,80 m.s
-2
à la surface de la Terre et le rayon de celle-ci : R = 6380 km.
2. Calculer la vitesse de ce satellite.
3. Calculer l’énergie à fournir pour satelliser ainsi une masse m = 1 kg depuis un point de
l’équateur. L’énergie potentielle de la masse située à une distance r du centre de la Terre est
égale à : Ep = -GMm / r
Exercice N°2 : Lancement d’un satellite
A t=0, une fusée à un étage de masse m
0
décolle.
On définit : le débit massique des gaz brûlés  = dm / dt ( est supposé constant)
la vitesse d’éjection des gaz par rapport à la fusée u > 0 (u est supposé constant)
On suppose que g reste uniforme lors du lancement.
1. En prenant pour système la fusée à l’instant t, exprimer sa masse et sa vitesse aux instants t
et t + dt
2. Exprimer la masse et la vitesse du gaz éjecté entre ces 2 instants
3. En utilisant la 2
ème
loi de Newton pour l’ensemble fusée + gaz, montrer que la vitesse de la
fusée vérifie l’équation différentielle suivante : m dv / dt = u – mg
4. Définir la force de poussée. A quelle condition la fusée décolle-t-elle ?
5. Résoudre cette équation en exprimant v en fonction de t. Déterminer la vitesse maximale. A
quelle condition la vitesse peut-elle atteindre des valeurs élevées pour une fusée à un étage ?
Exercice N°3 : Satellite en orbite
Le 12 avril 1961, le commandant soviétique Youri Gagarine fut le premier cosmonaute. Le vaisseau
spatial satellisé était un engin de masse m = 4725 kg. Les altitudes du périgée P et de l’apogée A
étaient respectivement z
P
= 180 km et z
A
= 327 km. L’énergie mécanique pour une trajectoire
elliptique de demi grand axe a est égale à Em = -GmM / 2a
1. Calculer les caractéristiques de l’orbite du vaisseau spatial : demi grand axe a, période T,
excentricité e.
2. Exprimer la vitesse v de ce satellite à son passage à l’altitude z en fonction de z, z
P
, z
A
, de la
masse M, du rayon R de la Terre et de la constante de gravitation G.
3. Application numérique : M = 6.10
24
kg, R = 6380 km, G = 6,67.10
-11
SI.
Calculer v en A et en P.