Fonctions élémentaires Pascal Lainé
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Fonctions élémentaires
Exercice 1.
Déterminer les limites de lorsque selon les valeurs de .
Aller à : Correction exercice 1
Exercice 2.
Déterminer les limites de , avec , lorsque
Aller à : Correction exercice 2
Exercice 3.
Résoudre
Lorsque et sont des entiers strictement positifs.
Aller à : Correction exercice 3
Exercice 4.
Déterminer la limite quand tend vers (avec ) de :
(On pourra utiliser une variable auxiliaire bien choisie tendant vers ).
Aller à : Correction exercice 4
Exercice 5.
Soit la fonction définie sur par
1. Déterminer les limites de à l'infini.
2. Etudier les variations de .
3. Tracer la courbe représentative de .
Aller à : Correction exercice 5
Exercice 6.
Soit la fonction définie sur par
1. Etudier les variation de sur .
2. Calculer les limites de en .
3. Tracer sommairement le graphe de .
Aller à : Correction exercice 6
Exercice 7.
Soient et les fonctions définies par
1. Montrer que et sont définies pour tout .
2. Calculer les variations de et en déduire que pour tout , .
3. Montrer que
.
4. En déduire les variations de
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5. Calculer la limite de en , puis calculer la limite de en (on pourra poser )
6. Tracer le graphe de .
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Exercice 8.
Soit la fonction définie sur par :
1. Montrer que est continue et dérivable sur .
2. Calculer et en déduire les variations de .
3. Calculer les limites de en . Puis les limites en de , en déduire que le graphe de
admet une asymptote en .
4. Tracer sommairement le graphe de .
Aller à : Correction exercice 8
Exercice 9.
Soit la fonction définie sur par
1. Vérifier que est bien définie sur .
2. Calculer . On exprimera sous la forme où est un polynôme et un réel.
3. Calculer les limites de en et en .
Aller à : Correction exercice 9
Exercice 10.
Soit la fonction définie sur par
1. Déterminer l’ensemble sur lequel est définie et continue.
2. Calculer . On exprimera sous la forme où est un polynôme et et sont des
réels.
3. Calculer la limite de en .
Aller à : Correction exercice 10
Exercice 11.
Soit , Résoudre
Allez à : Correction exercice 11
Exercice 12.
Soit la fonction numérique définie par : .
1. Déterminer l'ensemble de définition de , sa période et sa parité. En déduire un ensemble d'étude.
2. Calculer la dérivée de et déterminer son signe.
3. Dresser le tableau de variation.
4. Tracer la courbe représentative de .
Aller à : Correction exercice 12
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Exercice 13.
Soit la fonction numérique définie par : .
1. Déterminer l'ensemble de définition de , sa période et sa parité. En déduire un ensemble d'étude.
2. Calculer la dérivée de et déterminer son signe sur .
3. Dresser le tableau de variation.
4. Tracer la courbe représentative de sur .
Allez à : Correction exercice 13
Exercice 14.
Soit la fonction définie sur par :
1. Etudier la parité de et sa périodicité, en déduire un intervalle d’étude.
2. Etudier les variations de sur .
3. Dresser le tableau de variation de et tracer le graphe de .
Allez à : Correction exercice 14
Exercice 15.
Soit la fonction définie sur par
1. Déterminer la période de , sa parité et en déduire un intervalle d’étude .
2. Exprimer et en fonction de et .
3. Etudier les variation de sur .
4. Calculer , et sous forme rationnelle. Où est l’unique valeur dans annulant
.
5. Dresser le tableau de variation. Tracer sommairement le graphe de sur trois périodes.
Aller à : Correction exercice 15
Exercice 16.
Soit définie par
1. Etudier les variations de sur .
2. Montrer que dans l’intervalle s’annule pour une valeur comprise entre
et
.
3. Dresser le tableau de variation de sur .
4. Tracer la courbe sur l’intervalle .
Aller à : Correction exercice 16
Exercice 17.
Soit la fonction définie sur
par
1. Montrer que
, en déduire un encadrement de
.
2. Etudier les variations de sur
,
3. On donnera un encadrement de
.
4. Tracer le graphe de .
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Exercice 18.
On rappelle que est une bijection.
Déterminer sa bijection réciproque.
Allez à : Correction exercice 18
Exercice 19.
Calculer les limites suivantes :
Aller à : Correction exercice 19
Exercice 20.
Calculer
Aller à : Correction exercice 20
Exercice 21.
Résoudre dans
Aller à : Correction exercice 21
Exercice 22.
1. Résoudre
2. Déterminer le signe de selon les valeurs de , on justifiera précisément la réponse.
Allez à : Correction exercice 22
Exercice 23.
1. Calculer
2. A l’aide de la formule
Déterminer les solutions de l’équation :
Aller à : Correction exercice 23
Exercice 24.
1. Montrer que
2. Résoudre
Allez à : Correction exercice 24
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Exercice 25.
1. Montrer que
2. Montrer que pour tout
3. En déduire que
Allez à : Correction exercice 25
Exercice 26.
1. Montrer que pour tout
2. Montrer que :
3. Résoudre
On rappelle que
Allez à : Correction exercice 26
Exercice 27.
1. Montrer que pour tout
2. Montrer que
Allez à : Correction exercice 27
Exercice 28.
Soit la fonction définie par
1. Sur quel ensemble cette fonction est-elle définie et continue ?
2. Montrer que est prolongeable par continuité sur .
3. Calculer la dérivée de partout où cela ne pose pas de problème. Sur quel ensemble est-elle
dérivable, que peut-on en déduire sur le graphe de en ?
4. Etudier les variations de sur . Puis calculer la limite de en .
5. Tracer sommairement le graphe de . (On tracera clairement les tangente(s) et demi-tangente(s)
remarquable, ainsi que les asymptotes si nécessaire).
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Exercice 29.
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