EE souces 1

COURS DE L3 : ANALYSE
NUMÉRIQUE
Laurent BRUNEAU
Université de Cergy-Pontoise

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Table des matières
1 Résolution approchée de f(x) = 0 5
1.1 Introduction.................................... 5
1.2 Méthodedeladichotomie ............................ 6
1.3 Fonctionsconvexes ................................ 8
1.4 Méthodedelasécante .............................. 11
1.4.1 Interpolation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 MéthodedeNewton ............................... 15
2 Calcul approché d’intégrales I 19
2.1 Méthodes des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Les sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Rectangles à gauche / à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Méthode du point milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Méthodedestrapèzes............................... 24
2.3 MéthodedeSimpson ............................... 26
3 Approximation polynomiale 31
3.1 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Existence et unicité du polynôme d’interpolation . . . . . . . . . . . . 31
3.1.2 Erreur d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.3 Stabilité du polynôme d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Approximation L2et polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.1 Généralités sur l’approximation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2 Polynôme de meilleure approximation L2................ 37
3.2.3 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Calcul approché d’intégrales II : méthodes de quadrature 43
4.1 Méthodes de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1 Formules de quadrature simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.2 Formules de quadrature composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 MéthodedeGauss ................................ 51

4TABLE DES MATIÈRES
5 Résolution numérique des équations différentielles 55
5.1 Quelques aspects théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Leschémad’Euler ................................ 62
5.3 Méthodesàunpas ................................ 65
5.3.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.2 Consistance, stabilité et convergence d’un schéma . . . . . . . . . . . 67
5.3.3 Critères de consistance et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3.4 Ordred’unschéma ............................ 71
5.4 Méthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4.1 Présentation des méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4.2 LaméthodeRK2 ............................. 78
5.4.3 LaméthodeRK4 ............................. 78

Chapitre 1
Résolution approchée de f(x)=0
1.1 Introduction
Dans de nombreux théorèmes d’analyse on trouve des résultats tels que “il existe un
réel xtel que f(x) = 0” où fest une fonction donnée. On pourra penser au Théorème
des Valeurs Intermédiaires (si fest continue), au Théorème de Rolle (ici ce sera plutôt
“f0(x)=0”) ou encore au théorème du point fixe (on résout ici g(x) = xce qui équivaut à
f(x) = g(x)−x= 0, voir TD). On dit que xest un zéro ou une racine de fet la question
naturelle est alors “que vaut ce x?”. Mis à part quelques cas particuliers simples on ne pourra
pas résoudre l’équation, autrement dit trouver explicitement la valeur de x. Même dans le cas
où fest bijective et où on peut alors écrire x=f−1(0), il est souvent difficile voir impossible
d’avoir une expression simple pour f−1et dire que x=f−1(0) ne dit pas grand chose sur
la valeur de x. On est donc amené à trouver une valeur approchée de cette dernière. Dans
ce chapitre on se restreint au cas où fest une fonction d’une variable réelle. Avant de voir
quelques méthodes particulières, il y a deux points importants qu’il s’agit de toujours avoir
en tête dès que l’on parle de calcul ou résolution approchée : la précision de la valeur (ou
l’erreur commise) et la vitesse de convergence.
Erreur
Tout comme dans les chapitres suivants (calcul approché d’intégrales, résolution d’équa-
tions différentielles), il ne s’agira pas uniquement de donner une valeur. Comme on parle
ici de valeur approchée, une valeur seule ne veut rien dire ! Dire que 3,14 est une valeur
approchée de π, sans autre précision, n’a pas plus d’intérêt et n’est pas plus correct que de
dire que 5est une valeur approchée de π. Quand on parlera de valeur approchée il faudra
toujours préciser quelle est l’erreur (maximum) commise. 5est en effet une valeur approchée
de π, à 2près, ce qui signifie que |5−π|<2. Le nombre 3,14 est aussi une valeur approchée
de πà2près puisque |3,14 −π|<2. Il est vrai que 3,14 est une meilleur approximation
puisqu’en fait c’est une valeur approchée à 10−2de π:|3,14 −π|<10−2, alors que ce n’est
pas le cas pour 5. Mais si vous savez a priori que 3,14 est meilleur que 5c’est parceque vous
avez déjà rencontré πet que vous avez déjà une idée de sa valeur. Dans le cas contraire rien
ne vous permet de vous faire une idée. Par exemple, on peut montrer que la suite udéfinie