poly L2 EDP

Licence SPI deuxième année
Semestre 4
Équations aux dérivées partielles.
Alexandre POPIER
Année : 2018–2019

Table des matières
Introduction. 3
1 Équations différentielles ordinaires (rappels) 5
1.1 Cas linéaires et résolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Équations linéaires d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Quelques équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Système différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Équations linéaires d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Cas général : existence et unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Quelques définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Théorème d’existence et d’unicité de Cauchy-Lipschitz . . . . . . 14
1.2.3 Équations différentielles d’ordre supérieur à un . . . . . . . . . . . 15
2 Quelques notions sur les équations aux dérivées partielles 17
2.1 Équations linéaires et principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Conditions de bord, initiales, frontières, aux limites . . . . . . . . . . . . 19
3 Méthode de séparation de variables 21
3.1 Équationdelachaleur ............................ 21
3.2 Équationdesondes.............................. 23
3.3 ÉquationdeLaplace ............................. 26
3.4 Autreséquations ............................... 28
4 Équations aux dérivées partielles du second ordre 31
4.1 Caractéristiques................................ 31
4.2 Classification ................................. 33
4.3 Réduction à la forme standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Àretenir.................................... 37
5 Équations des ondes 39
5.1 Équations du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.1 Méthode des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.2 EDP quasi-linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 Équation des ondes en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.1 Propagation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.2 Formule de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1

5.2.3 Équation dans R+.......................... 49
5.2.4 Équation dans un intervalle borné [a, b]............... 51
5.3 Équation en dimension 1, avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Équations dans R3et dans R2........................ 53
5.4.1 Ondes sphériques et planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4.2 Potentiels retardés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4.3 Ondes dans R2, ondes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4.4 Exemple de méthode de séparation des variables . . . . . . . . . . 56
6 Annexe 59
6.1 Topologie de Rd................................ 59
6.2 Courbes .................................... 61
6.2.1 Arcs paramétrés de classe Ck.................... 62
6.2.2 Étude locale en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2.3 Plan d’étude d’une courbe paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . 66
2A. Popier

Introduction
Les équations différentielles (ordinaires ou aux dérivées partielles) se retrouvent dans
de très nombreux domaines, notamment en physique (par exemple mécanique, acous-
tique), en chimie (cinétique des réactions), ou en biologie (dynamique des populations),
etc.
Une ligne électrique est caractérisée au point de vue de la propagation des ondes par
les nombres R,L,Cet Gqui désignent respectivement : Rla résistance, Lla self (ou
inductance), Cla capacité, Gla conductivité (toutes par unité de longueur). Le voltage
Eau point xà l’instant test solution de l’équation
(1) ∂2E
∂x2=LC ∂2E ∂t2+ (RC +LG)∂E ∂t +RGE.
Cette équation s’appelle équation des télégraphistes. Si L=G= 0, cette équation
devient ∂2E
∂x2=RC ∂E ∂t . Une telle équation régit de nombreux problèmes de diffusion de
la chaleur et s’appelle équation de la chaleur. Si G=R= 0 (ce qui est le cas pour les
courants à haute fréquence), l’équation (1) devient ∂2E
∂x2=LC ∂2E ∂t2. Ce type d’équation
correspond à une « propagation par ondes », et est connue sous le vocable équation des
ondes.
Définition 0.1 Une équation comme les précédentes ( (1) ou celles de la chaleur ou des
ondes), dont l’inconnue est une fonction de plusieurs variables, et qui fait intervenir
la solution ainsi que certaines de ces dérivées partielles, est une équation aux dérivées
partielles (ou EDP en abrégé).
On appelle ordre d’une EDP l’ordre de la plus grande dérivée présente dans l’équation.
Leur résolution est généralement un problème ardu qui nécessite un bagage ma-
thématique important. Il ne s’agit pas ici de développer une théorie complète sur ces
problèmes. Nous allons nous restreindre à quelques techniques usuelles : méthodes des
caractéristiques, de superposition et de séparation des variables, etc.
En schématisant beaucoup, ces méthodes transforment un problème de résolution
d’une équation aux dérivées partielles en un problème de résolution des plusieurs équa-
tions différentielles ordinaires (EDO en abrégé), l’inconnue ne dépendant alors plus que
d’une variable. Il reste ensuite encore à traiter le problème des conditions de bord ou aux
limites... Le premier chapitre de ce cours sera donc consacré entièrement à la résolution
des EDO.
3

Le chapitre 2 donne quelques notions de base sur les EDP. Le chapitre 3 sera consa-
crée à la méthode de séparation de variables, méthode de base qui sera complètement
développée en L3. La méthode des caractéristiques pour les EDP du premier ordre sera
l’objet du chapitre 4. Enfin dans le dernier chapitre nous verrons comment classifier les
EDP du second ordre (en dimension 2). À noter que l’outil de base de tous ces chapitres
sera les EDO !
4A. Popier