TD 9 Problème à deux corps

PH1ME2-C
Université Paris 7 - Denis Diderot
2012-2013
TD 9
Problème à deux corps
1. Systèmes de deux particules : centre de masse et particule relative. Application à l’étude des étoiles doubles ∗
Une étoile double (ou binaire) est formée de deux étoiles que l’on peut considérer comme
uniquement soumises à leur attraction gravitationnelle mutuelle. Le principal intérêt de leur
étude est la détermination des masses stellaires. Les deux étoiles, de masses m1 et m2 , sont
−−−→ → −−−→
→
repérées par les vecteurs −
r1 = OM1 et −
r2 = OM2 dans un référentiel inertiel R0 .
1. Ecrire les équations différentielles du mouvement pour m1 et m2 dans le référentiel R0 .
→ −→
−
2. Rappeler l’expression de R = OG, G désignant le centre de masse du système de deux
→
→
→
étoiles. On définit une particule fictive (ou relative) par sa position −
r =−
r2 − −
r1 et par
sa masse µ = m1 m2 /(m1 + m2 ).
→
−
3. Déduire des équations du 1. les équations différentielles qui régissent l’évolution de R et
→
de −
r . Quel est le mouvement de G? Rappelez la définition du référentiel barycentrique.
→ −
−
→
→
−
d( r2 − r1 )
4. La vitesse relative des deux particules s’écrit: −
v→
= ddtr . Montrer que
rel =
dt
2
.
l’énergie cinétique dans le référentiel barycentrique vaut Ec∗ = 12 µvrel
5. Montrer que l’énergie cinétique totale du système de deux étoiles Ec,T ot peut se mettre
sous la forme d’une somme de deux termes. Lesquels ?
−−→
Même question pour le moment cinétique total JT ot .
Nous étudierons ici le cas de l’étoile de Plaskett pour laquelle les données spectroscopiques
fournissent les résultats suivants :
La période de révolution T autour du centre de masse G est de 14.4 jours;
La vitesse de chacune des composantes est d’environ 220 km/s;
Les orbites sont pratiquement circulaires.
6. De la seconde donnée, déduire le rapport des masses
double.
m1
m2
des composantes de cette étoile
7. Calculer la masse réduite, la distance entre les deux composantes et leurs masses respectives.
2. Etoile double ∗
On considère deux étoiles formant, dans l’espace, une "étoile double" que l’on pourra considérer comme isolée. Sous l’action de leur attraction mutuelle, ces deux étoiles décrivent des
orbites circulaires, autour du centre d’inertie de l’ensemble. On observe que les rayons des
orbites sont dans le rapport de 1/4, que la distance entre les étoiles est d = 1.2 1013 m, et que
la période de révolution de ce système est T = 342 années terrestres. En déduire la masse de
chaque étoile.
Rappel: G = 6.67 10−11 S.I. et 1 année terrestre = 3.16 107 s.
3. Barycentre du système solaire ∗
En utilisant les paramètres des astres du système solaire donnés dans la table de l’exercice 5
du TD 6, calculer les positions des barycentres des systèmes binaires suivants: Soleil-Mercure,
Soleil-Terre, Soleil-Jupiter, Soleil-Neptune et Terre-Lune. Commenter ces valeurs. Comparer
aux positions du barycentre de l’ensemble des planètes, placé par rapport au centre du Soleil à
différentes époques (fig. de gauche, le cercle orange en trait plein au centre représente la taille
du Soleil)). Comparer la figure de droite, correspondant à deux configurations particulières des
planètes géantes, à vos calculs (le triangle indique la position du barycentre).
4. Collision entre deux atomes de gaz rares ∗∗
L’étude des propriétés des gaz rares (Hélium Z = 2; Néon Z = 10; Argon Z = 18; Krypton
Z = 36; Xénon Z = 54 et Radon Z = 86) et celle des collisions entre les atomes du même nom
qui les composent, a montré que l’énergie potentielle d’un système constitué de deux de ces
atomes est assez bien représentée par l’expression, dite du "potentiel de Lennard-Jones":
Ep (r) = −ǫ[2(r0 /r)6 − (r0 /r)12 ]
où r est la distance entre les deux atomes considérés, ǫ une constante positive et r0 un
paramètre. Pour deux atomes de Xénon, on a ǫ ∼ 3.1 10−21 J ∼ 2 10−2 eV et r0 = 4 10−10 m.
1. Tracer, en fonction de r, l’allure de la courbe Ep (r). Retrouver les positions remarquables
(minimum, valeurs nulles et limites).
2. Préciser, en justifiant votre réponse, les domaines de r où l’interaction entre les deux
atomes est attractive et ceux où elle est répulsive.
3. Pour étudier les caractéristiques des collisions entre deux atomes, il est judicieux de se
placer dans le référentiel du centre de masse. Dire pourquoi et déterminer la masse µ de
la particule relative. Illustrer votre réponse en calculant la distance minimale d’approche
a0 des deux atomes, lors d’une collision frontale (paramètre d’impact nul). Comme intermédiaire de calcul, on posera x = (r0 /r)6 et on utilisera la seule solution acceptable
pour a0 en fonction de r0 , ǫ et E0 , où E0 désigne l’énergie cinétique du système dans le
référentiel du centre de masse, lorsque les deux atomes sont à une distance relative infinie.
Que vaut a0 dans les trois cas suivants: E0 = 0, E0 = 48ǫ, E0 = 3968ǫ ? Interpréter
ces résultats.
2
4. Pour une collision plus générale (avec un paramètre d’impact non nul), exprimer l’énergie
totale du système dans le référentiel du centre de masse (c’est-à-dire l’énergie totale de
la particule relative) en faisant apparaître µ, ṙ et J, respectivement masse réduite, composante radiale de la vitesse relative et norme du moment cinétique du système dans
le référentiel du centre de masse. Retrouver l’expression de l’énergie potentielle effective Epef f . Quelle est la signification de chacun des deux termes? Trouver l’allure du
graphe de Epef f en utilisant le tracé de Ep (r) de la question 1. Après avoir mis en évidence
l’existence d’états liés et d’états libres, donner une description sommaire des mouvements
correspondant dans l’espace. Dire ce qui permettrait à deux atomes de ce gaz de passer
de l’état libre à l’état lié (ou l’inverse).
5. Vibration d’une molécule diatomique ∗∗
L’énergie potentielle de deux atomes combinés en une molécule stable est donnée par
l’expression de l’exercice 2 et passe par un minimum pour r = r0 . On suppose dans la suite de
l’exercice que |r − r0 | << r0 .
1. Donner, à l’aide d’un développement limité, une expression approchée de Ep (r) au voisinage du minimum. Comparer cette expression à celle de l’énergie potentielle d’un ressort.
Préciser ce que représente la courbe tracée en trait épais ci-contre. Donner une description
qualitative du mouvement des molécules autour de leur centre de masse.
2. Application aux molécules de HCl et HF:
Les mesures spectrométriques donnent : ω0 (HF ) = 7.55 1014 rad/s et ω0 (HCl) =
5.47 1014 rad/s. A quelles longueurs d’onde ces vibrations correspondent-elles?
Calculer les masses réduites µHF et µHCl en unités atomiques (masse du proton = 1,
masse du fluor = 19 et masse du chlore = 35). Déduire des résultats expérimentaux les
valeurs des "constantes de rappel" kHF et kHCl . Les comparer.
La dimension d’une molécule de HF est de l’ordre de 1 Å (= 10−10 m). En supposant
que l’amplitude du mouvement est égale à 0.5 Å, donner une valeur approchée en eV de
l’énergie de vibration de la molécule. L’ordre de grandeur du résultat est-il raisonnable?
Expliquer pourquoi il ne s’agit que d’une approximation très grossière.
6. Interaction nucléaire entre un neutron et un proton ∗∗
Toutes les grandeurs avec une étoile (*) correspondent à des grandeurs calculées dans le
référentiel du centre de masse. Dans la théorie des forces nucléaires proposée par Yukawa en
1935, l’interaction attractive entre le neutron et le proton qui forment le deutéron est caractérisée par l’énergie potentielle suivante, fonction de la distance r qui sépare les deux particules:
K r
Ep (r) = e− a
3 r
a étant une distance caractéristique de l’ordre de quelques fermis et K = −100 MeV.fm (la
constante d’interaction).
1. Justifier le signe de K. Trouver l’expression littérale de la force F (r) correspondante.
2. Quelle est l’expression de l’énergie potentielle effective Epef f en fonction de la masse
réduite µ du système et de son moment cinétique J ∗ dans le référentiel du centre de
masse ?
3. Le graphe Epef f a l’allure représentée sur la figure ci-contre. Trouver l’équation à laquelle
satisfont les valeurs r1 et r2 de r pour lesquelles Epef f = 0. Même question pour les
dEpef f
= 0.
valeurs finies rm et rM pour lesquelles dr
4. Discuter les différents mouvements possibles suivant la valeur de l’énergie E.
5. On se place dans le cas où r = rm à tout instant. Sachant que rm = 1 fm et a = 5 fm,
calculer la valeur du moment cinétique J ∗ (on l’exprimera en fonction de h̄ = h/2π) et
calculer (en MeV): l’énergie totale E ∗ , l’énergie cinétique totale Ec∗ et Ep .
Rappel: mp ∼ mn ∼ 1.67 10−27 kg.
7. Choc élastique décrit dans le référentiel barycentrique et dans
celui du laboratoire ∗∗
Dans le référentiel du laboratoire (R), une particule de masse m1 , de vitesse v~1 rentre en
collision élastique avec une autre particule de masse m2 au repos. On notera avec un ’prime’ les
caractéristiques des deux particules après le choc. On appelle θ1′ et θ2′ les angles de déviation
des particules 1 et 2 dans (R) par rapport à la direction incidente de la particule 1.
1. Exprimer les vitesses u~1 , u~2 des particules 1 et 2 avant le choc dans le référentiel du centre
de masse (B).
2. Montrer qu’après la choc, les 2 particules, dans (B) partent dans deux directions opposées.
Montrer que les vitesses dans (B) conservent leur module.
Soit ϕ′ l’angle que fait, après le choc, la vitesse u~′1 de la particule 1 par rapport à la
direction incidente dans (B).
sinϕ′
3. Montrer que:
tanθ1′ =
1
cosϕ′ + m
m2
4. Tracer tan(θ1′ ) pour les trois types de collisions suivantes: proton-proton, particule alphaproton, électron-proton. On donne: mp = 1850 me et mα = 4 mp . Dans le cas d’une
collision proton-proton, peut-on observer une rétro-diffusion dans (R)?
4
8. Niveaux électroniques du positronium ∗∗∗
En combinant un électron avec son anti-particule le positron (même masse et charge opposée) on constitue un atome exotique (état lié) appelé “positronium”. On suppose l’ensemble
isolé (on néglige l’action de la gravitation entre les deux particules: justifier cette hypothèse).
1. Exprimer l’énergie potentielle d’interaction électrostatique entre les deux particules.
2. Définir le référentiel (B) du centre de masse G associé à ce système. Est-il inertiel?
3. Que vaut la masse de la particule fictive associée au mouvement relatif des deux particules?
4. Cette particule fictive décrit une orbite circulaire uniforme de rayon a et de période T .
Quelle relation relie a et T ? Exprimer les caractéristiques des orbites de l’électron et du
positron (vitesse et distance) autour de G.
5. Exprimer les énergies cinétique et totale du système positronium dans le référentiel (B).
6. En mécanique classique, on montre qu’une charge en mouvement accéléré rayonne et perd
donc de l’énergie. Quelle en est la conséquence sur les orbites de l’électron et du positron?
En appliquant le même raisonnement à l’atome d’hydrogène, Niels Bohr en 1913 a proposé
la notion de quantification discrète des niveaux d’énergie de cet atome : le moment
cinétique orbital est quantifié: J = nh̄. Par analogie avec l’atome d’hydrogène, calculer
l’énergie du niveau fondamental (n=1) et du deuxième niveau (n=2) du positronium. En
déduire l’énergie de la raie d’émission due à la dé-excitation du niveau 2 sur le niveau 1.
Dans quel domaine de longueur d’onde se trouve-t-elle? Comparer à la raie équivalente
Lyα pour l’atome d’hydrogène.
Le positronium a été découvert pour la première fois en 1951 par Martin Deutsch au M.I.T. Dans
sa configuration “ortho” (correspondant à des spins parallèles des deux particules), il a une durée
de vie courte: 140 ns. Il se désintègre en deux photons γ à 511 keV. Ce mécanisme pourrait être
à l’origine de l’émission de la raie à 511 keV observée en provenance du centre de notre galaxie.
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