Fonctions d'une variable réelle : Chapitre de manuel

Lesfonctions àune variable réelle.
Chapitre:1
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Exemple:
On considère la fonction définie par: f: (x)=2 x +4
Quelle est l’image de 3 ?
Quelle est l’image de -1 ?
Quels sont les antécédents éventuels de 12 ? Quels
sont les antécédents éventuels de -5 ?
1). Définition :Notion de fonction
Les fonctions constituent un outil puissant pour modéliser des phénomènes et des opérations économiques,
on les trouve partout.
Achaquefois que l’on associe à une quantitéxune (autre) quantité y,on dit que l’on définit une
fonction. Les fonctions sont désignées par des lettres. On note par exemple:
f: x y
f(a)=b
Et :
On dit que best l’image de a par l’application f.
On dit que aest un antécédent de b.
2.) Représentation graphique d’une fonction.
2-1) Définition : représentation graphique:
La représentation graphique d’une fonction fest l’ensemble des points de coordonnées (x,f(x))
5
d7 ansun repère donné. Cette représentation graphique est souvent notée Cf.
aJ
b
c
e
dL
M
if
K
NP
xy

3.) Ensemble de définition d’une
fonction.
3-1) Définition :
L’ensemble de définition d’une fonction fest l’ensemble de tous les réels xpour lesquels f(x)
est calculable.
Exemple : préciser le domaine de définitiondesfonctions suivantes
4.) Sens de variation d’une fonctions
4-1) Définition:
Soitf(x) une fonctiondéfinie au moinssur un intervalle I. On ditque:
fest croissante sur Isi :pour tous u et vdans I:u<v f(u) ≤ f(v).
fest strictement croissante sur Isi :pour tous u et vdans I:u<v f(u) < f(v).
fest décroissante surIsi:pour tous u et vdansI:u<v f(u)≥f(v).
fest strictement décroissante sur Isi:pour tous u et vdans I:u<v f(u)>f(v).
fest monotone surIs’elle est croissante ou décroissante sur I.
fest strictement monotone sur Is’elle est strictement croissante ou strictement décroissante
sur I.
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J
K
N
Q
L
M
P
a
b
C d
e
i
Ensemble de définition Df = {b, c , d , e}

4-2) Remarques:
On dit parfois que fest croissante si elle conserve les inégalités et que fest décroissantesi elle
renverse les inégalités.
Si une fonction est strictement croissante sur un intervalleI, alors elle est croissante sur I.
Illustration graphique:
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5.) Fonctions majorées, minorées et bornées:
SoitIun intervalle et soientfet gdeux fonctions définies au moins surI.on ditque:
fest inférieure àgsur Ilorsque: f(x) ≤ g(x) pour tout x€I.on note: f≤gsur I.
fest positive sur Ilorsque: f(x) ≥ 0 pour tout x dans I.on note: f≥0sur I.
fest majorée surIlorsqu’il existe un réel Mtel que:f(x)≤M pour tout xdans I
fest minorée surIlorsqu’il existe un réel mtel que:f(x)≥m pour tout xdansI
fest bornée s’elle est majorée et minorée.
Exemple:
On considèreles fonctions fet gdéfinies surR+parf(x)=x et g(x)=x². comparer fet g
6) Maximum et minimum d’une fonction
6-1) Définition:
Soitfune fonctiondéfinie surun intervalleI. dire que le nombre f(a) est un maximum
(resp. minimum)de fsur Isignifieque pour tout réelxde Ion a: f(x) ≤ f(a)(resp.f(x) ≥
f(a))
Exemples:
1)
Démontrer que fest minorée sur Rpar 2.
2)
Démontrer que fest majorée par 2 sur son domaine de définition.
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