mesure, integration, probablilités

MESURE, INTEGRATION, PROBABILITES
Thierry Gallouët Raphaèle Herbin
3 février 2013

Avant-propos
L’objectif de ce livre est de donner une vue d’ensemble de la théorie de la mesure,
de l’intégration et des probabilités correspondant à un niveau de troisième année de
licence ou de première année de master (en mathématiques).
La lecture de ce livre requiert la connaissance des notions d’analyse réelle, d’algèbre
linéaire et de calcul différentiel enseignées en première et deuxième année de licence
de mathématiques dans la plupart des universités françaises.
Nous nous sommes attachés à introduire le vocabulaire de la théorie des probabilités
en parallèle à celui de l’analyse. Nous espérons ainsi faciliter l’accès conjoint à des
études ultérieures dans ces deux branches des mathématiques, ce qui semble devenir
indispensable aux mathématiciens se formant en vue d’appliquer ces théories.
Nous attachons une importance considérable aux exercices : plus de 300 sont proposés
dans ce livre, certains sont des applications directes du cours, d’autres contiennent
des développements importants. Plus de 250 d’entre eux sont assortis d’un corrigé
détaillé.
Ce livre, issu d’un polycopié de cours amélioré et complété sur plus de 20 ans, a
bénéficié de nombreuses remarques ou questions de nos étudiants et de discussions
avec nos collègues (en particulier probabilistes). Nous tenons à les en remercier
chaleureusement.
Une liste d’errata sera régulièrement mise à jour sur les sites web des auteurs.
Thierry Gallouët et Raphaèle Herbin

Table des matières
1 Motivation et objectifs 9
1.1 Intégrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Insuffisance de l’intégrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . 11
1.3 Lesprobabilités............................ 14
1.4 Objectifs................................ 15
1.5 Structureducours........................... 15
1.6 Exercices ............................... 16
2 Tribus et mesures 35
2.1 Introduction.............................. 35
2.2 Tribu ou σ−algèbre .......................... 36
2.3 Mesure,probabilité ........................... 41
2.4 Mesuresignée............................. 48
2.5 La mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens . . . . . . . . . . 52
2.6 Indépendance et probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7 Exercices ............................... 69
3 Fonctions mesurables, variables aléatoires 109
3.1 Introduction, topologie sur R+.................... 109
3.2 Fonctionsétagées............................111
3.3 Fonctions mesurables et variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . 113
3.4 Mesure image, loi d’une v.a., v.a. indépendantes . . . . . . . . . . . 120
3.5 Convergence p.p., p.s., en mesure, en probabilité . . . . . . . . . . 123
3.6 Exercices ................................127
4 Fonctions intégrables 157
4.1 Intégrale d’une fonction étagée positive . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.2 Intégrale d’une fonction mesurable positive . . . . . . . . . . . . . 160
4.3 Convergence monotone et lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . 165
4.4 Mesures et probabilités de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168