Chapitre 1. Calcul Vectoriel et Différentiels Isig

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Chapitre1 :Calcul vectoriel et opérateurs différentiels
A. Calcul vectoriel
I. Vecteurs, base et repère
1. Les vecteurs
a. Norme d’un vecteur
L’espace de la mécanique est l’espace E
3
, espace affine associé à R
3
. L’espace des vecteurs utilisé est l’espace
vectoriel réel euclidien de dimension 3 noté E
3
. Un vecteur sera noté
u
et sa longueur
u
norme de
u
.
Soit vecteur
u ab
=
constitué par le couple de points (a,b). La norme du vecteur
abu =
est donc la distance
d(a,b) des 2 points du couple représentant le vecteur libre. La norme d’un vecteur est une application qui vérifie
les propriétés suivantes :
- P1 :
0u =
⇔
0
u
=
- P2:
ukuk ,E u IR, k
3
=∈∀∈∀
- P3 :
v uv u ,E v et u
3
+≤+∈∀
- Si
kujuiuu
321
++=
,
2
3
2
2
2
1
uuuu ++=
D. Un vecteur
v
dit normé ou unitaire si norme égale à l’unité :
1v =
.
Remarque : Un vecteur libre est normé en divisant ses composantes par la norme. On peut donc écrire un
vecteur normé sous la forme :
v
v
i ,E v
v
3
=∈∀
⇒
v
i vv =
.
b. Angle de deux vecteurs
Soit deux vecteurs libres
u
et
v
(
abu =
et
'abv =
). L’angle non orienté des deux vecteurs
u
et
v
est l’angle des
demi-supports de leurs représentants (a, b) et (a, b’). Il est noté
(
)
v,u= α .
α
est un angle non orienté.
Cet angle est mesuré habituellement en
radians et tel que
π
α
≤
≤
0
c. Cosinus directeurs
Soit
(
)
,, kji
une base orthonormée de l’espace vectoriel V. Un vecteur libre
v
de V est repéré par rapport
aux vecteurs de la base par 3 angles :
(
)
i,v= α ,
(
)
j,v= β ,
(
)
k,v= γ .

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Dans une base orthonormée les composantes de
v
sont :
α cos vv
1
=
;
β cos vv
2
=
;
γ cos vv
3
=
.
Les cosinus directeurs de
v
sont:
v
v
cos
1
= α ;
v
v
cos
2
= β ;
v
v
cos
3
= γ
En écrivant que
2
3
2
2
2
1
2
vvvv ++=
, on obtient la relation fondamentale entre les cosinus directeurs dans
un repère orthonormé :
1coscoscos
222
=++ γβα
.
2. Base
Une base de E
3
est un ensemble de trois vecteurs non coplanaires; nous la noterons
(
)
,, kjiB
ou B tout
simplement.
Remarque : Dans le cas d’une base orthonormée directe de vecteurs de base
(
)
,, kji
on a :
•
1 === kji
•
0 =⋅=⋅=⋅ ikkjji
•
1 =⋅=⋅=⋅ kkjjii
•
Les vecteurs kji et , forment un
trièdre direct.
3. Repère
• Un repère de E
3
est l’ensemble d’un point de E et d’une base de E
3
. Nous noterons un tel repère
(
)
,,, kjiO
ou
(
)
,,, kjiOR
ou
R
. Les composantes dans le repère
(
)
,,, kjiOR
d’un vecteur
u
sont les composantes
(
)
321
,, uuu
de
u
dans la base
(
)
,, kjiB
.
kujuiu
321
u ++=
3.
Le produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs
u
et
v
de composantes respectives
(
)
(
)
321321
v,v,v et u,u,u
dans le repère
orthonormé direct R est égal à :
vu ⋅
.
-
Expression à partir des composantes des vecteurs :
(
)
(
)
332211
332211
321321
vuvuvu
kkvujjvuiivu
kvjvivkujuiuvu
++= ⋅+⋅+⋅=
++⋅++=⋅
- Expression à partir des normes et l’angle formé par les deux vecteurs

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On a :
(
)
vuvuvu ⋅⋅=⋅ cos
NB : Le vecteur unitaire
v
e
d’un vecteur
v
est :
II . Le produit vectoriel
1. Définition
Soient deux vecteurs
u
et
v
, et soit α l’angle formé par ces deux vecteurs : . Le produit vectoriel des
deux vecteurs
u
et
v
de composantes respectives dans le repère orthonormé direct R
est noté
vu ∧
. Il est égal :
- au vecteur
0
si
u
et
v
sont colinéaires, ou si
vu =
(
0=∧uu
)
- au vecteur de longueur
(
)
v,usinvu ⋅
, perpendiculaire au plan
(
)
vu , et orienté de tel sorte que la base
(
)
vuvu ∧ ,, soit direct si
u
et
v
ne sont pas colinéaires.
Dans une base orthonormée direct
(
)
,, kjiB
la définition du produit vectoriel entraine :
=∧=∧=∧ ∧=∧=∧= 0 0 0 kkjjii
jikikjkji
NB :
vu ∧
=
uv ∧−
•
Expression à partir des composantes des vecteurs :
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) kvuvujvuvuivuvu
kkvujkvuikvu
kjvujjvuijvukivujivuiivu
kvjvivkujuiuvu
⋅−+⋅−+⋅−=
∧+∧+∧+
∧+∧+∧+∧+∧+∧=
++∧++=∧
122131132332
332313
322212312111
321321
Autre façon de l’exprimer :
1221
3113
2332
3
2
1
3
2
1
vuvu
vuvu
vuvu
v
v
v
u
u
u
vu
−
−
−
=∧=∧
- Expression à partir des normes et l’angle formé par les deux vecteurs
(
)
vu
iv,usinvuvu
∧
⋅=∧
Remarque : Si
0=∧vu
, l’une au moins des trois propriétés suivantes est vérifiée :
vuvu et ; 0 , 0 ∗=∗=∗ sont colinéaires.
B. Opérateurs différentiels
I . Le vecteur gradient
1. Définitiondu gradient
v
v
e
v
=
(
)
v,u= α
(
)
(
)
321321
v,v,v et u,u,u

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Soit une fonction scalaire f(r) définie dans une région de l’espace, nantie des qualités d’une bonne fonction
(continuité, dérivabilité, …) comme le sont généralement les grandeurs physiques comme par exemple la
température T , l’indice de réfraction n , la masse volumique ρ , …
On définit son gradient entre deux points voisions M et M’ tel que
ldMMd ='
par le vecteur
)( fgrad
qui
vérifie la relation:
dlfgradMfMfdf ⋅=−= )()()'(
.
df est la différentielle de la fonction f :
dx
dx
df
df =
(à une dimension).
Cette différentielle nous renseignesur la variation de la fonction po ur une variation élémentaire dx de la variable
x.
On définit ainsi le vecteur gradient comme suit :
- 3 dimensions :
zyx
e
z
f
e
y
f
e
x
f
fgrad ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
- 2 dimensions
:
yx
e
y
f
e
x
f
fgrad ∂
∂
+
∂
∂
=
- 1 dimension
:
x
e
x
f
fgrad ∂
∂
=
Exemple : Soit la fonction température définit par :
222
2
1
),,( zyxzyxT ++=
zyx
ezeyexTgrad ++= 22
2. Expression du gradient en fonction de l’opérateur
∇
Pour représenter le gradient, on utilise souvent formellement l’opérateur
∇
(nabla) comme s’il s’agissait
d’un vecteur :
z
e
y
e
x
e
zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
L’opérateur
∇
ne prend de sens que lorsqu’on l’applique à une fonction. Ainsi,
fgrad
s’écrit en
coordonnées cartésiennes comme suit :
zyx
e
z
f
e
y
f
e
x
f
f∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
Remarque : cet opérateur se comporte comme un vecteur dans les produits scalaires et vectoriels
II. Circulation d’un vecteur
Soit
A
un vecteur mobile
dl
un élément de longueur.
On définit la circulation C du vecteur
A
le long de la courbe (A,B) par :
∫
⋅=
B
A
dlAC
Sur un contour fermé, la circulation du
vecteur
A
s’écrit :
0 =⋅=
∫
→ AA
dlAC

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III. Flux d’un vecteur a travers une surface
Soient
Sd
un élément de surface (
dSNSd =
),
N
la normale à cet élément de surface. Soit
V
un champ de
vecteurs.
-
Le flux élémentaire (
φ
d
) du champ de vecteurs
V
à
travers dS est défini par :
dSNVdSVd ⋅=⋅= φ
-
Le flux (
φ
) du champ de vecteurs
V
:
(
)
dSVdSNVdSV
S SS
∫∫ ∫∫∫∫
=⋅=⋅= θφ cos.
Pour une surface fermée (sphère, ellipsoïde, …) on écrit que le flux est égal à :
∫∫
⋅=
S
dSNV φ
IV. Divergence d’un vecteur
On appelle divergence d’un vecteur
A
, le produit scalaire de ce vecteur avec l’opérateur nabla
∇
AAdiv ⋅∇=
(
)
z
A
y
A
x
A
eAeAeA
z
e
y
e
x
eA
z
y
x
zzyyxxzyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
++⋅
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
z
A
y
A
x
A
AAdiv
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇=
V. Rotationnel d’un vecteur
On appelle rotationnel d’un vecteur
A
, le vecteur résultant du produit vectoriel de l’opérateur nabla
∇
et du
vecteur
A
.
AArot ∧∇=
(
)
z
x
y
y
z
x
x
y
z
zzyyxxzyx
e
y
A
x
A
e
x
A
z
A
e
z
A
y
A
eAeAeA
z
e
y
e
x
eA
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
++∧
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∧∇