Chap 1 OEM TLC

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CHAPITRE 1
ONDES ELECTROMAGNETIQUES
I. EQUATIONS DE MAXWELL
I. 1. Définition d’une onde électromagnétique
L’onde électromagnétique (OEM) représente la propagation de deux champs de vecteurs couplés, le
champ électrique
E
et le champ magnétique
B
ou
H
.
I. 2. Equations de Maxwell
L’étude de l’OEM est régie par 4 équations fondamentales reliant les vecteurs
E
,
B
,
D
et
H
.
Ces 4 équations sont appelées équations de Maxwell :
B
rotE t =− 
(1-1)
D
rotH J t =+
(1-2)
divB 0=
(1-3)
divD=
(1-4)
E
et
H
décrivent le champ électromagnétique ;
B
et
D
définissent l’action de ce champ sur la matière ;
= densité volumique de charge du milieu traversé par l’OEM ;
J
= vecteur densité de courant volumique de conduction ;
J
=
E
(1-5)
où
est la conductivité du milieu.
B
et
D
s’écrivent respectivement en fonction de
H
et
E
:
B
=
H
=
r
0
H
(1-6)
D
=
E
=
r
0
E
(1-7)
= perméabilité magnétique absolue du milieu ;
r
= perméabilité magnétique relative du milieu ;
0
= perméabilité magnétique absolue du vide.
= permittivité absolue du milieu ou constante diélectrique;
r
= permittivité relative du milieu ;
0
= permittivité absolue du vide.

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Les équations de Maxwell s’écrivent aussi sous la forme:
H
rotE t = − 
(1-8)
E
rotH E t =  +  
(1-9)
divH 0=
(1-10)
divE  =
(1-11)
E
t
=
d
J
= densité volumique de courant de déplacement de Maxwell.
II. EQUATIONS A L’INTERFACE ENTRE DEUX MILIEUX
On considère une onde électromagnétique traversant une surface S qui sépare deux milieux (1) et (2).
La surface S est orientée en un de ses points M, par le vecteur unitaire
u
, du milieu (1) vers le milieu
(2). M1 est un point très proche de M dans le milieu (1) et M2 est un point très proche de M dans le
milieu (2) (voir figure).
On note:
111
MM
E (M) lim E(M )
→
=
et
222
MM
E (M) lim E(M )
→
=
111
MM
H (M) lim H(M )
→
=
et
222
MM
H (M) lim H(M )
→
=
Les relations ci-dessous, (1-12) à (1-15 ) sont appelées équations à l’interface de deux milieux ou
relations de passage de l’OEM à la traversée d’une surface :

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21
(M)
u E (M) E (M)  −=
(1-12)
21
u E (M) E (M) 0  − =
(1-13)
21
u H (M) H (M) 0 −=
(1-14)
21 s
u H (M) H (M) J (M)  − = 
(1-15)
Les relations sont appelées équations à l’interface de deux milieux ou relations de passage de l’OEM à
la traversée d’une surface.
La relation (1-12) signifie que la composante normale ou longitudinale (suivant
u
) du champ
électrique est discontinue en M.
La relation (1-13) signifie que la composante tangentielle ou transverse (perpendiculaire à
u
) du
champ électrique est continue en M ; elle est aussi appelée équation de continuité.
La relation (1-14) signifie que la composante normale du champ magnétique est continue en M ; elle
est aussi appelée équation de continuité.
La relation (1-15) signifie que la composante tangentielle du champ magnétique est discontinue en M.
III. ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE
III. 1. Identité de Poynting
En utilisant l’équation (1-6) et la relation (1-9), on a :
rot
B
=
E
Et   + 
=
E
Jt +
On multiplie cette équation par
1
E
; on obtient :
1
E
rot
B
=
J
E
+
E
E
t
=
J
E
+
t
2
1E
2
e =
1
2
2
E
= densité volumique d’énergie électrique (1-16)
1
E
rot
B
=
J
E
+
e
t
div
( )
EB
=
B
rot
E
-
E
rot
B
E
rot
B
=
B
rot
E
- div
( )
EB

4
1
E
rot
B
=
1
B
rot
E
- div
EB
.
On pose :
P
=
EB
=
EH
(1-17)
P
est appelé vecteur de Poynting. Il représente la puissance instantanée par unité de surface ou la
densité de puissance instantanée exprimée en W/m2.
1
E
rot
B
=
1
B
rot
E
- div
P
=
J
E
+
e
t
div
P
=
1
B
rot
E
-
J
E
-
e
t
L’équation (1-8) donne:
rot
E
= -
B
t
On multiplie cette relation par
1
B
; on obtient :
1
B
.
rot
E
= -
1
B
.
B
t
= -
t
2
1B
2
m =
2
1B
2
= densité volumique d’énergie magnétique (1-18)
1
B
rot
E
= -
m
t
div
P
= -
m
t
-
J
E
-
e
t
= -
J
E
-
( )
em
t
 + 
em
 + 
= em =
1
2
2
E
+
2
1B
2
(1-19)
em = densité volumique d’énergie électromagnétique
div
P
+
em
t
= -
J
E
(1-20)
La relation (1-20) est appelée identité de Poynting.

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III. 2. Transfert d’énergie
III. 2. 1. Conservation de l’énergie
L’énergie se conserve dans un milieu vide ou dans un diélectrique parfait au cours de la propagation de
l’onde. L’identité de Poynting devient :
div
P
+
em
t
= 0 (1-21)
La relation (1-21) est appelée équation de conservation de l’énergie.
Dans l’espace où l’énergie électromagnétique se conserve, elle reste concentrée dans les régions où
règne soit un champ
E
, soit un champ
B
, ou les deux, avec la densité volumique em.
III. 2. 2. Non conservation de l’énergie
Dans un milieu autre que le vide ou le diélectrique parfait, l’énergie ne se conserve pas au cours de la
propagation. Par exemple dans un milieu ohmique où
J
=
E
, on a :
div
P
+
em
t
= -
J
E
= -
2
E
, soit
div
P
+
em
t
= -
2
E
(1-22)
La relation (1-22) est appelée équation de non conservation de l’énergie.
Le terme -
2
E
indique que la diminution de l’énergie volumique est due à l’effet Joule. L’énergie
est perdue par le champ
E
; cette énergie perdue est transférée à la matière sous forme thermique.
On admet en général que la densité volumique de puissance perdue par le champ
E
et transférée à la
matière chargée lors de la circulation du courant s’écrit :
pm =
J
E
(1-23)
On a alors :
em
t
= - div
P
- pm (1-24)
III. 3. Forme intégrale de l’identité de Poynting
div
P
+
em
t
= - pm
d = volume élémentaire du milieu de propagation
div
P
d +
em
t
d = - pm d
( )
divP d
+
( )
em
dd
dt 
= -
( )
m
pd