Cours AN 2024

Méthodes d’Analyse Numérique pour l’Année
Préparatoire II
–Cours de Mathématiques Appliquées–
Analyse Numérique, Analyse Numérique matricielle
Mohamed ADDAM
Professeur de Mathématiques
École Nationale des Sciences Appliquées d’Al Hoceima
–ENSAH–
Année Universitaire 2023/2024
[email protected]
[email protected]
c
Mohamed ADDAM.
15 février 2024

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Table des matières
1 Analyse numérique matricielle 5
1.1 Spectre et rayon spectral d’une matrice, Matrice positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Matrice positive et matrice définie positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Valeurs singulières d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Décomposition en valeurs singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Pseudo-inverse de Moore-Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Représentation des entiers et des réels sur ordinateur . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Effet de la représentation des réels et les erreurs d’arrondi sur la résolution de Ax =b13
1.3.3 Propriétés du conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Méthode des moindres carrés et optimisation quadratique 15
2.1 Maxima et minima de fonctions de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Gradient d’une application et Matrice hessienne d’une F.P.V . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Approximations linéaire et quadratique : Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Points critiques d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.4 Maxima et minima des fonctions de nvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Forme linéaires et bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Équivalence entre la résolution d’un système linéaire et la minimisation quadratique 20
2.3 Application aux moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Approximation par la droite des moindre carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Interprétation géométrique : projection sur un sous-espace . . . . . . . . . . . . . 22
3 Résolution de systèmes linéaires par les méthodes itératives 25
3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Comparaison des méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Principales méthodes itératives classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Etude de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3

4 TABLE DES MATIÈRES
4 Interpolation et approximation polynômiale 35
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.1 Interpolation polynomiale de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Détermination du polynôme d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.1 Cas où n= 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Interpolation par les différences divisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5 Erreur d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Intégration et dérivation numérique 45
5.1 Introduction et outils de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Formule de quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Quadratures interpolatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4 La méthode des rectangles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4.1 Formule du rectangle ou du point milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4.2 Formule du trapèze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4.3 Formule de Cavalieri-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Chapitre 1
Analyse numérique matricielle
1.1 Spectre et rayon spectral d’une matrice, Matrice positive
Soit A= (ai,j)1≤i,j≤nune matrice carrée de taille n×n.
1. La trace de Aest tr(A) =
n
X
i=1
ai,i.
2. Les valeurs propres de Asont les n racines réelles ou complexes (λi)1≤i≤ndu polynôme caractéris-
tique Pde A. Le spectre de A, noté Sp(A)est l’ensemble de tous les valeurs propres de A:
Sp(A) = {λi: 1 ≤i≤n}
3. La matrice Aest diagonale si ai,j = 0 pour i6=j, on la note
A= diag(aii) = diag(a11, a22,...,ann).
On rappelle les propriétés suivantes :
1. tr(A) =
n
X
i=1
λi, dét(A) =
n
Y
i=1
λi.
2. tr(AB) = tr(BA),tr(A+B) = tr(A) + tr(B).
3. det(AB) = det(BA) = det(A)det(B).
Définition 1.1.1 On appelle le rayon spectral de la matrice A, noté %(A), le nombre réel positif
%(A) = max{|λi|: 1 ≤i≤n}
Définition 1.1.2 Une matrice Aest
1. Symétrique si Aest réelle et A=AT;
2. hermitienne si A=A∗;
3. Orthogonale si Aest réelle et AAT=ATA=I;
4. Unitaire si AA∗=A∗A=I;
5. Normale si AA∗=A∗A.
une matrice Aest dite singulière si elle n’est pas inversible.
Propriété 1.1.1 Si Aet Bsont deux matrices inversibles, alors (AB)−1=B−1A−1,(AT)−1= (A−1)T,
(A∗)−1= (A−1)∗.5