Sérié2.stat-GEGM3-21

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UNIVESITE ABDELMALEK ESSAIDI /FST
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
TANGER
Probabilités-Statistique
Série 2
Exercice 1 : Considérons l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé équilibré où
 est l’univers. Et soient 1 et 2 les algèbres suivantes :
1= {, P, I,} avec P= {2, 4, 6}, I= {1, 3, 5} ; 2= ().
Déterminer dans chacun des trois cas suivants si X est une variable aléatoire ou non
(Justifier vos réponses) :
1. X(i)=i , i= 1, …, 6 avec l’algèbre 2.
2.
1 si i est pair
X(i)=
2 si i est impaire
avec l’algèbre 1.
3.
1 i= 1, 2, 3
X(i)=
2 i= 4, 5, 6
avec l’algèbre 1.
Exercice 2: Soit X, Y deux variables aléatoires définies sur le même espace de
probabilité. Démontrer que U = min (X, Y) et V = max (X, Y) sont aussi des
variables aléatoires.
Exercice 3:
On considère la variable aléatoire X dont la loi est donnée par les valeurs -2, -1, 0, 1, 3
et les probabilités associées 0.2, 0.1, p , 0.2 et 0.1.
1). Représenter dans une table la fonction de probabilité, P (X = x) et la fonction
de
distribution de probabilité, F (x) = P (X ≤ x), et calculer p, E(X) et Var(X).
2) Soit la variable aléatoire Y = |X| (valeur absolue de X).
Quelle est la loi de probabilité de Y.
3). Déterminer la fonction de répartition F(y) de Y et tracer sa courbe.
4) Calculer E(Y) et l’écart-type, (Y)
Exercice 4 : Deux amis décident de jouer à Pile ou Face et adoptent la règle
suivante : Le jeu continu et ne s'arrête que si pile et face se présentent au moins trois
fois. Quelle est la probabilité que le jeu n’est pas s’arrêté durant 10 lancés.
Exercice 5:
1) On considère la variable aléatoire X «nombre de naissances observées avant
l’obtention d’une fille » avec p = 1/2 (même probabilité de naissance d’une fille
ou d’un garçon). Montrer que la loi suivit par X est une loi géométrique.
Filière S.V.T.U (S1)
Année
U
niversitaire
2
0
/
2
1
Filière : GEGM (S3)

2
2) Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est définie, pour
0 1
p
,
par X
( ) (1 )
k
P k p p
pour k* . Calculer E(X).
Exercice 6: L’oral d’un concours comporte au total 100 sujets ; les candidats tirent
au sort trois sujets et choisissent alors le sujet à traiter parmi ces trois sujets. Un
candidat se présente en ayant révisé 60 sujets sur les 100. On note X la variable
aléatoire égale au nombre de sujets révisés parmi les 3. Sachant que X suit une loi
hypergéométrique, quelle est la probabilité pour que le candidat ait révisé :
(a) les trois sujets tirés ;
(b) exactement deux sujets sur les trois sujets ;
(c) aucun des trois sujets.
Exercice 7 : Un standard téléphonique reçoit 300 appels par heure. Il ne peut pas
établir plus de 12 connexions par minute. Calculer :
1) La probabilité que le standard reste saturé dans une minute donnée.
2) La probabilité qu'il reçoit une seule appelle dans une minute donnée.
Exercice 8: Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson d'espérance .
On définit une nouvelle variable aléatoire Y, de la manière suivante :
2
X
Y si X est
paire et distincte de 0 et
0
Y
si X est impaire ou zéro.
Calculer la probabilité P(Y=k), k=0,1,2,… .
Exercice 9 : Soit f la fonction définie par :
2
k(1 ) si 0 3
f( ) 0 sinon
x x
x
1. Déterminer k pour que f soit une densité de probabilité.
2. Soit X une variable aléatoire dont f est la densité.
Calculer les probabilités suivantes : P(1<X 2), P(X < 1).
3. Sachant que X supérieur à 1, calculer la probabilité pour qu’elle soit inferieur à 2.
Exercice 10 : Soient X, Y deux variables aléatoires continues de densité fX(x), fY(y)
et soit A un évènement qu’il se réalise avec la probabilité p. Définissons la variable
aléatoire Z comme suite : Z = X si l’évènement A est réalisé et Z=Y si l’évènement A
n’est pas réalisé.
Trouver la densité de Z.
Exercice 11 : Soit X une variable aléatoire de densité f donnée par
1
( ) exp( )
2
f x x
  .
Quelle est la probabilité que l’équation a2 + Xa + 1 = 0 possède deux racines réelles
distinctes ?.