algèbre linéaire

UNIVERSITÉ CADI AYYAD
FACULTÉ DES SCIENCES-SEMLALIA
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
ALGEBRE LINEAIRE
Polycopié de cours
Nombreux exercices et exemples avec solution
Professeur
Mohamed HOUIMDI
Version septembre 2018
Publications du
Département de Mathématiques

0.0
Algèbre
linéaire Applications
linéaires
Espaces
vectoriels
Dualité
Réduction
Page ii sur 185 Pr.Mohamed HOUIMDI

Table des matières
1 Espaces vectoriels 1
1.1 Définitions et propriètés de base ..................... 1
1.1.1 Espace vectoriel sur un corps quelconque ............ 1
1.2.1 Conséquences de la définition .................. 1
1.2.2 Exemples fondamentaux ..................... 2
1.3 Sous-espaces vectoriels .......................... 3
1.3.1 Définition et exemples ...................... 3
1.5.1 Opérations sur les sous-espaces vectoriels ............ 4
1.12.1 Sous-espaces supplémentaires .................. 8
1.16 Espace vectoriel quotient ......................... 11
1.18 Partie génératrice – Partie libre – Base ................. 11
1.18.1 Combinaisons linéaires - Partie génératrice ........... 11
1.21.1 Partie libre ............................ 13
1.22.1 Base ................................ 13
1.26 Espaces vectoriels de dimension finie .................. 16
1.26.1 Définition et exemples ...................... 16
1.27.1 Théorème de la dimension finie ................. 17
1.36.1 Théorème de la base incomplète ................. 22
1.38.1 Identités remarquables concernant la dimension ........ 23
1.42 Exercices .................................. 25
2 Applications linéaires – Matrices 31
2.1 Applications linéaires – Isomorphisme d’epaces vectoriels ....... 31
2.1.1 Définition et propriètés de base ................. 31
2.4.1 Noyau et image d’une application linéaire ............ 33
2.7.1 Décomposition canonique - Théorème du rang ......... 35
2.11 Endomorphismes – Automorphismes .................. 38
2.17 Exemples d’endomorphismes remarquables ............... 42
2.17.1 Projection sur un sous-espace vectoriel - Projecteurs ...... 42
2.19.1 Symétrie par rapport à un sous-espace vectoriel - Symétries
vectorielles ............................. 43
2.21.1 Affinités - Dilatations - Transvections .............. 44
2.28 Matrices .................................. 46
2.28.1 Opérations sur les matrices ................... 46
2.30.1 Matrices élémentaires ....................... 48
2.32.1 Trace d’une matrice carrée .................... 49
2.37 Matrices et applications linéaires .................... 51
2.37.1 Matrice d’une application linéaire ................ 51
2.39.1 Matrice de passage – Changement de base ........... 53
2.44 Rang d’une application linéaire - Rang d’une matrice ......... 55
2.44.1 Définition et propriètés de base ................. 55
2.45.1 Quelques applications du theorème du rang .......... 57
2.49.1 Rang et matrices équivalentes .................. 60
2.53 Exercices .................................. 62
2.53.1 Noyau, image, isomorphisme, automorphisme, théorème du rang 62
iii

0.0
2.53.2 Rang, décomposition d’une application linéaire ......... 66
2.53.3 Projecteurs ............................ 67
2.53.4 Matrices, applications linéaires de matrices ........... 69
3 Formes linéaires – Dualité 74
3.1 Formes linéaires et hyperplans ...................... 74
3.5 Espace vectoriel dual ........................... 76
3.7 Base duale ................................. 79
3.12 Base préduale ............................... 82
3.15 Prolongement des formes linéaires .................... 83
3.18 Orthogonalité ............................... 84
3.26 Bidual ................................... 88
3.29 Transposée d’une application linéaire .................. 89
3.35 Exercices .................................. 91
4 Formes multilinéaires – Déterminants 95
4.1 Formes multilinéaires ........................... 95
4.1.1 Définitions et propriètés de base ................. 95
4.2.1 Formes multilinéaires alternées ................. 96
4.6 Déterminants ...............................100
4.6.1 Déterminant d’un système de vecteurs .............100
4.9.1 Déterminant d’un endomorphisme ................102
4.12.1 Déterminant d’une matrice ....................104
4.15.1 Développement d’un déterminant ................106
4.20.1 Inverse d’une matrice .......................110
4.21.1 Déterminant de Vandermonde ..................111
4.23 Exercices ..................................112
5 Réduction des endomorphismes 115
5.1 Polynômes et endomorphismes ......................115
5.1.1 Notations et définitions ......................115
5.2.1 Polynôme minimal ........................116
5.4.1 Polynôme caractéristique .....................118
5.8.1 Théorème de Cayley-Hamilton ..................120
5.13.1 Théorème de décomposition des noyaux .............123
5.17 Diagonalisation ..............................125
5.17.1 Valeurs propres - Vecteurs propres ...............125
5.19.1 Sous-espaces propres .......................126
5.24.1 Endomorphismes diagonalisables ................129
5.29.1 Diagonalisation simultannée ...................136
5.33 Trigonalisation ..............................137
5.37 Endomorphismes nilpotents .......................140
5.44 Jordanisation pour un endomorphisme nilpotent ............144
5.47 Décomposition de Dunford ........................149
5.50 Réduction de Jordan ...........................152
5.50.1 Base et matrice de Jordan ....................152
5.52.1 Technique de jordanisation en petites dimensions .......154
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0.0
6 Applications de la réduction 159
6.1 Calcul de l’exponentielle d’une matrice .................159
6.1.1 Norme d’une matrice .......................159
6.2.1 Exponentielle d’une matrice ...................160
6.8 Systèmes et équations différentiels linéaires ...............164
6.8.1 Définition d’un système différentiel ...............164
6.9.1 Résolution pratique d’un système différentiel ..........164
6.9.2 Solutions réelles ..........................169
6.10 Equations différentielles linéaires à coefficients constants .......170
6.10.1 Equation homogène ........................170
6.13 Exercices ..................................172
Lemme de Zorn - Axiome du choix 184
.1 Elément maximum - Elément minimum .................184
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