Exercices sur les fonctions numériques - Mathématiques S1

Travaux Dirigés Fonctions numériques I Mathématiques S1-2024-2025
Exercice 1 – Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie
Déterminer le domaine de définition de la fonction fdans les cas suivants :
1. f(x) = 3x2−2x+1
x−4
2. f(x) = 1
(x+2)(x−5)
3. f(x) = x2+2x+1
x2−1,
4. f(x) = √4x−8
5. f(x) = √x+3
x−2,
6. f(x) = 1
√9−x2
7. f(x) = ln(x2−4x+ 4)
8. f(x) = ln(x−1
x+1 )
9. f(x) = ln(√2x−1)
10. f(x) = e2x−1+1
x
11. f(x) = √1−ex
12. f(x) = ln(x2−1)
√2x−3
13. f(x) = ex+1
ln(x)
14. f(x) = √3x−5
x2+ln(x−2) ,
Exercice 2 – Calculer la limite de la fonction fdéfinie par :
lim
x→+∞
3x2−2x+ 1
5x2+x−7lim
x→−∞
2x3−4x+ 6
x3+x2−x+ 1 lim
x→+∞px2+ 4x−xlim
x→2
x2−4
x−2
lim
x→0+ln(x) lim
x→+∞
ln(x)
xlim
x→+∞
x·ln 1
xlim
x→+∞
e−x
lim
x→0
ex−1
x,lim
x→−∞
x(e2x+ex),lim
x→+∞x−px2+x,lim
x→1
x3−1
x−1
Exercice 3 – En utilisant la règle de L’Hôspital calculer les limites suivantes :
lim
x→0
ex−1
x2+ 2xlim
x→0
ln(1 + x2)
xlim
x→+∞
e2x−ex+1
ex−1
Exercice 4 – Répondre par vrai ou faux aux énoncés suivants (justifier votre réponse) :
1. Le produit de deux fonctions impaires est une fonction impaire.
2. La somme de deux fonctions paires est une fonction paire.
3. Le produit de deux fonctions monotones sur un même ensemble E est une fonction monotone.
4. Une fonction paire n’est pas injective.
5. Une fonction paire est surjective.
6. Une fonction impaire est surjective.
7. Si les fonctions fet gsont deux fonctions paires alors f◦gest paire.
8. La composée g◦fde deux fonctions fet gdécroissantes sur leur ensemble de définition est croissante. sur le même intervalle.
9. La réciproque d’une application continue et strictement croissante sur un intervalle est aussi continue et strictement croissante.
Université Mohamed premier-ENCGO 1Profs: H. BELAOUIDEL/ H. Outada

Travaux Dirigés Fonctions numériques I Mathématiques S1-2024-2025
Exercice 5 – 1. Déterminer si la fonction suivante est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre :
f(x) = x4−2x2+ 1, g(x) = x3−3x, h(x) = 1
x+x.
2. Déterminer les intervalles de monotonie de chaque fonction définie par :
f(x) = x3−3x2+ 2, g(x) = 1
x, h(x) = ln(x), g(x) = ln(x)−x
Exercice 6 – oit la fonction g(x)définie par :
g(x) = (2x2−4
x−2si x̸= 2,
5si x= 2.
1. Étudiez la continuité de la fonction g(x)en x= 2. La fonction est-elle continue en ce point ?
2. Simplifiez l’expression de g(x)pour x̸= 2 et en déduire la continuité de la fonction sur R.
Exercice 7 – Soit la fonction h(x) = |x−1|.
1. Montrez que la fonction h(x)est continue en x= 1.
2. Étudiez la dérivabilité de h(x)en x= 1. Calculez les dérivées à droite et à gauche et concluez sur la dérivabilité en ce point.
3. Représentez graphiquement h(x)et interprétez visuellement la continuité et la dérivabilité en x= 1.
Exercice 8 – Soit la fonction k(x) = √xdéfinie sur R+.
1. Vérifiez la continuité de k(x)sur son domaine de définition. La fonction est-elle continue en x= 0 ?
2. Étudiez la dérivabilité de k(x)en x= 0. Calculez la dérivée à droite et concluez sur la dérivabilité en ce point.
3. Tracez la courbe représentative de k(x)et commentez le comportement de la fonction près de x= 0.
Exercice 9 – Soit la fonction f:R→Rdéfinie par f(x)=3x+ 5.
1. Déterminez la fonction réciproque f−1(x)de f(x).
2. Vérifiez que f(f−1(x)) = xet f−1(f(x)) = xpour tout xdans l’ensemble de définition.
3. Discutez des propriétés de la fonction réciproque f−1(x), notamment sa continuité, sa dérivabilité et son domaine de définition.
4. Interprétez la fonction réciproque f−1(x)dans un contexte économique, par exemple, si f(x)représente la demande en fonction
du prix, que représente f−1(x)?
Exercice 10 – La fonction représentée est f(x) = x2−4x+ 4.
−1 1 2 3 4 5
2
4
6
8
x
f(x)
1. Etudier la symétrie de la fonction f.
2. Dresser le tableau des variations de la fonction f.
3. Résoudre graphiquement f−1(x)=2
Université Mohamed premier-ENCGO 2Profs: H. BELAOUIDEL/ H. Outada