Éléments de cours: MP Rappel de sup : Algèbre linéaire
◦Soient uet u0des éléments de F+G, il existe alors deux éléments de F,
xet x0, et deux éléments de G,yet y0, tels que u=x+yet u0=x0+y0
.
Soit λun scalaire. En utilisant les axiomes des espaces vectoriels, on
obtient :
λu +u0= (λx +x0)+(λy +y0)
Comme Fet Gsont des sous-espaces vectoriels : λx+x0∈Fet λy+y0∈
Gdonc λu +u0∈F+G
2. D’après la remarque précédente et le premier résultat du théorème, F+G
est un sous espace vectoriel contenant F∪G.
Il reste à démontrer que tout sous-espace vectoriel contenant F∪Gcontient
aussi F+G.
Considérons H, un sous-espace vectoriel de E contenant F∪G, et uun
élément de F+G. L’élément uest donc la somme d’un élément xde Fet
d’un élément yde G.
Les éléments xet yappartiennent à F∪G, donc ils appartiennent aussi à
H, et comme Hest un sous-espace vectoriel, l’élément x+yappartient à
Hdonc uest un élément de H. Donc Hcontient F+G.
Remarque. F+Gcontient Fet Get est inclus dans tout sous-espace vectoriel
contenant Fet G.
Définition 4: Somme directe
Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E.
On dit que Fet Gsont en somme directe si et seulement si pour tout élément
ude F+G, il existe un unique couple (x;y)de F×Gtel que u=x+y.
On dit aussi dans ce cas que la somme F+Gest directe. La somme sera
notée : F⊕G
Théorème 3: Propriété caractéristique
Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E. Les as-
sertions suivantes sont équivalentes :
1. Fet Gsont en somme directe
2. F∩G={0}
3. Pour tout (x, y)∈F×G,x+y= 0 ⇐⇒ x=y= 0
Preuve. 1⇒2) Supposons que Fet Gen somme directe.
Soit u∈F∩Galors upeut s’écrire des deux manières suivantes, comme
somme d’un élément de Fet d’un élément de G:
u=u+ 0 = 0 + u
L’élément uétant un élément de F∩G,donc c’est un élément de F+G;
d’après l’unicité de l’écriture d’un élément de F+G, cela entraÓne : u= 0
. Donc F∩G={0}.
2⇒3) Soit (x, y)∈F×G.
◦Si x+y= 0, alors x=−y∈F∩G. Par hypothèse F∩G={0}, donc
x=y= 0
◦Si x=y= 0, c’est évident
3⇒1) Soit u∈F+G. Supposons qu’il existe deux éléments x, x0∈Fet deux
éléments de Gtels que u=x+yet u=x0+y0, alors x−x0+y−y0= 0.
Mais x−x0∈Fet y−y0∈G, donc x−x0= 0 et y−y0= 0, par suite
x=x0et y=y0.
L’écriture de ucomme somme d’un élément de Fet d’un élément de Gest
donc unique.
Définition 5: Sous-espaces supplémentaires
Soit Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E.
On dit que Fet Gsont supplémentaires si, et seulement, si E=FLG.
Remarque. Soit Fet Gdeux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Alors
∀x∈E, ∃!(xF, xG)∈F×G;x=xF+xG
Exemple 6. Soient E=C([−1,1],R),
A={x∈[−1,1] 7→ αx +β / α, β ∈R}et B={f∈E / f(−1) = f(1) = 0}
Aet Bsont évidemment des sous-espaces vectoriels de E. Montrons qu’ils sont
supplémentaires.
Solution. Étudions A∩B.
Soit f∈A∩B. Il existe α, β ∈Rtel que f(x) = αx +βpour tout x∈[−1,1].
http://www.elamdaoui.com 3EL AMDAOUI Mustapha