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COURS DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL.
POUR LE PREMIER SEMESTRE
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SOMMAIRE
CHAPITRE 1 :
- Système de coordonnées.
- Cinématique du point matériel (avec et sans changement de référentiel).
CHAPITRE 2 :
Loi fondamentale et théorèmes généraux de la dynamique du point matériel.
CHAPITRE 3 :
Travail et énergie.
CHAPITRE 4 :
Les mouvements à force centrale.
CHAPITRE 5 :
Vibrations simples : Systèmes à un degré de liberté.
CHAPITRE 6 :
Chocs de deux particules.
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CHAPITRE 1 :
A) SYSTEMES DE COORDONNEES
Selon la nature de la trajectoire d’une particule, sa position sera repérée par l’un des
systèmes de coordonnées : cartésiennes, cylindriques ou sphériques.
Soient R
0(O,x0y0z0) un repère direct orthonormé de base ),,(kji et M la particule à
repérer.
I ]] Système de coordonnées cartésiennes.
Dans R0, la position de la particule M est donnée par ses trois coordonnées
cartésiennes (x,y,z) telles que :
x = abscisse de M ; y = ordonnée de M ; z = côte de M.
OMojxOx0 Pr= ; OMojyOy0 Pr= ; OMojz Oz0 Pr=.
Dans R0, le vecteur position s’écrit :
kzjyixmMOmOM ++=+= .
Déplacement élémentaire.
Le vecteur déplacement élémentaire 'MM (M’ est rès voisin de M) s’écrit:
kdzjdyidxMdOMdMM ++==='
(Dans R0, 0=== kdjdid)
II]] Systèmes de coordonnées cylindriques.
Si la trajectoire du point M possède une symétrie axiale de révolution, il est intéressant
d’utiliser les coordonnées cylindriques de ce point (ρ,ϕ,z) définies comme suit :
Om= ρ ( m est la projection de M sur le plan )( 00Oyx), ),(0OmOxangle= ϕ et z est
la projection du vecteur position OM sur l’axe 0 Oz .
x0
z
x
y
y0
O
M
m
k j
i
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Une nouvelle base orthonormée directe ),,(kee ϕρ est associée à ce système de
coordonnées telle que :
.sincos jie ϕϕ
ρ+=
.cossin jie ϕϕ
ϕ+−=
avec ϕ
ρ
ϕ
e
d
ed=
et ρ
ϕ
ϕ
e
ded−= .
Quand le point M décrit tout l’espace, les intervalles de variation de ρ, ϕ et z sont :
0  ρ < +∞ ; 0  ϕ  2π ; -∞ < z < +∞.
Dans la base ),,(kee ϕρ, le vecteur position Om s’écrit :
kzemMOmOM +=+= ρ ρ .
Déplacement élémentaire:
Le vecteur déplacement élémentaire 'MM (M’ très voisin de M) est:
kzededMdOMdMM ++=== ϕρ ϕρρ '.
Cas particulier:
Si la trajectoire de M est plane, ce point peut être repéré par ses coordonnées polaires
ρ et ϕ.
O
i
j
ρ
e
ϕ
e
ϕ
ϕ
x0
y0
z
z0
O
M
m
ϕ
ρ
e
ϕ
e
ϕ
e
k
ρ
k
i
j
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III]] Système de coordonnées sphériques.
Lorsque le problème présente une symétrie sphérique autour d’un point O que l’on
prend pour origine du repère d’espace, il est pratique d’utiliser les coordonnées
sphériques (r,θ,ϕ) de la particule à étudier telles que :
OMr= ; ),(0OMOzangle= θ ; ),(0OmOxangle= ϕ .
Quand M décrit tout l’espace,
0  r < +∞ ; 0  ϕ  2π ; 0  θ  π.
Une nouvelle base s’introduit alors : ),,(ϕθeeer. Où
+−=
−+=−=
++=+=
.cossin
sinsincoscoscossincos
cossinsincossincossin
jie
kjikee
kjikeer
ϕϕ
θϕθϕθθθ
θϕθϕθθθ
ϕ
ρθ
ρ
Dans la base ),,(ϕθeeer, le vecteur position s’écrit :
r erOM =.
Déplacement élémentaire :
Le déplacement élémentaire de la particule M en coordonnées sphériques est donné
par:
ϕθ
ϕθθ edrerdedrOMdr)(sin++= .
z0
y0
z
O
M
m
ϕ ρ
k
i
j
θ
e
r
e
θ
ϕ
e
ϕ
e
x0
ρ
e
ϕ
e
i
j
O
ϕ
⊗
e O
k r
e
θ
e
ρ
e
θ
θ
ϕ
ϕ
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