Calcul Vectoriel et Torseurs : Chapitre de Cours

Chapter 1
Calcul vectoriel - Torseur
Sommaire
1.1 Approche historique ................................. 3
1.2 Définitions ....................................... 4
1.2.1 Espace vectoriel ................................... 4
1.2.2 Espace vectoriel Euclidien .............................. 4
1.3 Espace Affine - Espace Métrique ......................... 4
1.3.1 Espace affine ..................................... 4
1.3.2 Espace métrique ................................... 4
1.4 Vecteurs - Moments d’un vecteur ......................... 5
1.4.1 Introduction ..................................... 5
1.4.2 Vecteur lié - Vecteur glissant ............................ 5
1.4.3 Opérations sur les vecteurs ............................. 5
1.4.4 Moment d’un vecteur en un point ......................... 6
1.5 Torseurs ........................................ 6
1.5.1 Introduction ..................................... 6
1.5.2 Application antisymétrique ............................. 7
1.5.3 Champ antisymétrique ................................ 8
1.5.4 Torseurs ........................................ 8
1.1 Approche historique
Pour les problèmes de physique, l’Allemand Hermann Grassman (1809-1877) fut l’un des premiers
à utiliser la notation vectorielle. L’Américain Gibbs (1839-1903) et l’Anglais Heaviside (1850-1925),
disciples de Hamilton (l’un des premiers à utiliser la notion de vecteur), donnent au calcul vectoriel
sa forme quasi définitive. L’intérêt de la maitrise du calcul vectoriel est fondamental pour la bonne
application des lois de la mécanique.
3

CHAPTER 1. CALCUL VECTORIEL - TORSEUR 4
1.2 Définitions
1.2.1 Espace vectoriel
On appelle espace vectoriel Esur un corps commutatif Kun ensemble d’éléments (vecteurs) qui vérifient
les propriétés suivantes:
-Eest muni d’une structure de groupe commutatif pour une loi de composition interne, l’addition
vectorielle, notée (+).
-∀λ, µ ∈Ket ∀−→ u , −→ v∈E, on a: λ(−→ u+−→ v) = λ−→ u+λ−→ vet λ(µ−→ u)=(λµ)−→ u
1.2.2 Espace vectoriel Euclidien
Un espace vectoriel Eest dit euclidien s’il est muni d’un produit scalaire fqui à −→ u , −→ v∈E, fait
correspondre le nombre réel f(−→ u , −→ v)tel que :
f(−→ u , −→ v) = f(−→ v , −→ u)
f(−→ u , λ−→ v) = λf (−→ u , −→ v)
f(−→ u , −→ v+−→ w) = f(−→ u , −→ v) + f(−→ u , −→ w)
f(−→ u , −→ u)≥0( égalité si −→ u=−→ 0)
Notation :f(−→ u , −→ v) = −→ u .−→ v
1.3 Espace Affine - Espace Métrique
1.3.1 Espace affine
On appelle espace affine ξun ensemble d’éléments appelés points tels qu’à tout couple ordonné de deux
points Aet B(bipoints), on fait correspondre un vecteur −→ AB d’un espace vectoriel Eet si A,Bet
C∈ξ, on a:
−→
AB =−−→ BA
−→
AC =−→ AB +−−→ BC
∀O∈ξet −→ u∈E,∃!A∈ξdéfini par −→ OA =−→ u
1.3.2 Espace métrique
Un espace métrique est un espace affine auquel on a associe un espace vectoriel euclidien.
Pour la suite du cours, on désigne par ξl’espace métrique associé à un espace vectoriel euclidien E
de dimension 3.

CHAPTER 1. CALCUL VECTORIEL - TORSEUR 5
1.4 Vecteurs - Moments d’un vecteur
1.4.1 Introduction
En physique, la modélisation des grandeurs, qui ne peuvent être entièrement définies par un scalaire
ou une fonction numérique seuls, se fait par l’introduction de la notion de vecteur. Par exemple, pour
préciser un déplacement, une vitesse, ou une force, la direction et le sens sont indispensables.
1.4.2 Vecteur lié - Vecteur glissant
•On appelle vecteur lié, tout couple (A, −→ u)formé de A∈ξappelé origine ou point d’application et
d’un vecteur −→ ude Eappelé grandeur vectorielle.
Notation :(A, −→ u) = −→ u(A): on lit vecteur −→ ulié au point A.
Exemples: - Force résultante appliquée à un point.
- Champ électrique créé par une charge électrique en un point.
•On appelle vecteur glissant, un vecteur défini à un glissement près sur un axe (∆) appelé support.
Notation :(∆,−→ u): vecteur glissant.
Exemples: - Résultante dans le cas d’un torseur
Soit b= (−→ i , −→ j , −→ k)une base orthonormée directe de E.
∀−→ u∈E,−→ usera défini par ses composantes ux,uyet uzdans cette base :
−→
u=ux
−→
i+uy
−→
j+uz
−→
kou −→ u=
ux
uydans (b)
uz
1.4.3 Opérations sur les vecteurs
1.4.3.1 Produit scalaire
Le produit scalaire est une opération algébrique s’ajoutant aux lois s’appliquant aux vecteurs. ` Adeux
vecteurs, elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire, d’où son nom). Elle permet d’exploiter
les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs, angles, orthogonalité.
Soient −→ uet −→ vdeux vecteurs libres non nuls de E.
−→
u .−→ v=uxvx+uyvy+uzvz
−→
u .−→ v= 0 ⇐⇒ −→ u⊥−→ v
1.4.3.2 Produit vectoriel
Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension
3. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d’analyse vectorielle écrit par
Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique.
Aux deux vecteurs −→ uet −→ vde E, on peut associer un vecteur −→ w(unique) tel que :
−→
w=−→ u∧−→ v=
ux
uy
uz
∧
vx
vy
vz
=
wx=uyvz−uzvy
wy=uzvx−uxvz
wz=uxvy−uyvx

CHAPTER 1. CALCUL VECTORIEL - TORSEUR 6
On a −→ w⊥−→ u,−→ w⊥−→ vet (−→ u , −→ v , −→ w)forme un trièdre direct.
Conséquences
- Si −→ uet −→ vsont dans le plan de la feuille, −→ west ⊥à ce plan.
-−→ u∧−→ v=−→ 0
-−→ u∧−→ v=−−→ v∧−→ u: le produit vectoriel est anti-commutatif.
1.4.3.3 Double produit vectoriel
Soient −→ u,−→ vet −→ w∈E.
−→
u∧(−→ v∧−→ w)=(−→ u .−→ w)−→ v−(−→ u .−→ v)−→ w
1.4.3.4 Produit mixte
Considérons −→ u,−→ vet −→ w∈E.
−→
u . (−→ v∧−→ w)=(−→ u , −→ v , −→ w) = det 
uxvxwx
uyvywy
uzvzwz
Propriétés
(−→ u , −→ v , −→ w) = (−→ w , −→ u , −→ v)=(−→ v , −→ w , −→ u): le produit mixte est invariant par permutation circulaire.
(−→ u , −→ v , −→ w) = −(−→ u , −→ w , −→ v) = −(−→ v , −→ u , −→ w): le produit mixte change de signe dans le cas d’une
permutation non circulaire.
1.4.4 Moment d’un vecteur en un point
En physique, les moments des vecteurs sont grandement utilisés, ils permettent de modéliser des
grandeurs comme, moment d’une force, moment d’inertie et moment cinétique...etc.
•Soit (A, −→ u)un vecteur lié et O∈ξ.
Le moment en Odu vecteur lié −→ u(A)est le vecteur −→ M(O, −→ u(A)) = −→ OA ∧−→ u
•Soit (∆,−→ u)un glisseur et O∈ξ.
−→
M(O, −→ u)est indépendant du point M∈∆
Preuve:−−→ OM ∧−→ u=−−→ OM0∧−→ u+−−−→ M0M∧−→ u
| {z }
1.5 Torseurs
1.5.1 Introduction
Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide indéformable,
pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu’ils subissent de la part d’un
environnement extérieur. Un certain nombre de vecteurs utilisés en mécanique sont des moments :
moment d’une force, moment cinétique, moment dynamique. Les champs vectoriels utilisés en mécanique
(moment d’une force, moment cinétique, moment dynamique...) possèdent des propriétés communes,
d’où l’intérêt d’être modélisés par un même objet mathématique appelé << torseur >>.

CHAPTER 1. CALCUL VECTORIEL - TORSEUR 7
1.5.2 Application antisymétrique
Définition:L:E−→ E
−→
u7−→ L(−→ u)
Lest antisymétrique ⇐⇒ ∀ −→ u , −→ v∈E;L(−→ u).−→ v=−L(−→ v).−→ u
Exemple:La:E−→ E
−→
u7−→ −→ a∧−→ u(où −→ aest un vecteur donné non nul )
Proposition: Si Lest antisymétrique, ∃!−→ R∈Etel que L(−→ u) = −→ R∧−→ u(∀−→ u∈E)
Démonstration
Si [L]est la matrice associée à Ldans la base −→ i , −→ j , −→ k, alors L(−→ u)=[L]−→ u
avec [L] = 
l11 l12 l13
l21 l22 l23
l31 l32 l33
Considérons les produits scalaires suivants :
L(−→ i).−→ i=−L(−→ i).−→ i⇐⇒ [L]−→ i .−→ i=
l11 l12 l13
l21 l22 l23
l31 l32 l33
1
0
0
.
1
0
0
= 0 =⇒l11 = 0
L(−→ j).−→ j= 0 =⇒l22 = 0
L(−→ k).−→ k= 0 =⇒l33 = 0
L(−→ i).−→ j=−L(−→ j).−→ i⇐⇒ 
0l12 l13
l21 0l23
l31 l32 0
1
0
0
.
0
1
0
=−
0l12 l13
l21 0l23
l31 l32 0
0
1
0
.
1
0
0
L(−→ i).−→ j=−L(−→ j).−→ i=⇒l21 =−l12
L(−→ i).−→ k=−L(−→ k).−→ i=⇒l31 =−l13
L(−→ j).−→ k=−L(−→ k).−→ j=⇒l23 =−l32
Posons l12 =−r3,l13 =r2et l23 =−r1. Il en résulte :
L(−→ u)=[L]−→ u⇐⇒ [L]−→ u=
0−r3r2
r30−r1
−r2r10
ux
uy
uz
=
−r3uy+r2uz
r3ux−r1uz
−r2ux+r1uy
=−→ R∧−→ u
avec −→ R=r1
−→
i+r2
−→
j+r3
−→
k