analogie numerique

Du signal analogique au
signal numérique
77
La Genèse du Signal Numérique
• De linformation cachée dans la représentation choisie
• Échantillonnage
• Compression
• Décomposition dans un espace orthogonal
Les avances en moyen informatique (puissance de calcul) ont rendu possible
le expression et traitement de signaux en forme numérique. Mais pour
numériser, il faut d'abord échantillonner. Nous allons voir que la passage
analogique – numérique implique nécessairement une perte d'information.
Cette perte peut être minimiser par l'application des outils adaptés.
78
Systèmes Automatiques Echantillonnés
Échantillonnage
• Signal Analogique
• Signal discret en temps
• Signal numérique
80
Modèle mathématique de
léchantillonnage
81
Signal Analogique
Signal échantillonnage
82
A la limite du théorème de
l'échantillonnage
On peut, intuitivement,
remarquer sur l'illustration
précédente, que relier les
échantillons à l'aide d'une
ligne courbe, aussi bien
choisie soit-elle, n'a que peu
de chances de reproduire le
signal original, bien que le
théorème de l'échantillonnage
soit, formellement, respecté.
83
Sous-échantillonnage
Si l'on tente de relier les
échantillons par une courbe,
on ne va pas être en mesure
de reconstituer le signal
original, mais un autre, peu
semblable au précédent.
Ceci est la conséquence de
la violation du théorème de
l'échantillonnage.
84
85
Échantillonnage
• Léchantillonnage idéal prélève des
échantillons à la cadence Te de façon
instantanée.
xe = xa (nTe ) (t nTe )
nZ
86
Spectre du signal échantillonné
ˆ( ) = (t)e jt dt = 1
xe (t) = x1 (t) (t nTe )
nZ
c(t) = (t nT ) ĉ( ) = e jnT
Xe ( f ) = TF[xa (t)] * TF[ (t nTe )]
nZ
ĉ( ) =
2
2 k
(
)
T
T k
Xe ( f ) = feX a ( f ) * TF[ (t nTe )] = fe Xa(f nfe )
nZ
nZ
En utilisant la formule de Poisson
87
Échelle temps
Temps physique
Séquence
x (n)
1 0
x(t )
1
2
3
4
5
6
7
n
T
0
T 2T 3T 4T 5T 6T 7T
t
88
Échelle fréquence
Fréquence physique
X ( e j )
Fréquence normalisée
X ( j)
1
0
1
2
0
T
2
T
89
Échantillonnage et périodisation
• Échantillonnage idéal...
+
+
xe (t ) = x (t ) T (t ) = x (t ) (t kT ) = x[ kT ] (t kT )
k =
k =
• ...Transformée de Fourier...
1
1 +
k
X e ( f ) = X ( f ) * 1 ( f ) = X ( f )
T
T
T k =
T
... périodisation en fréquence.
Échantillonnage temporel <=> périodisation en fréquence
Échantillonnage en fréquence <=> périodisation temporelle
Signaux de durée finie et signaux périodiques
Transformée de
x(t)
0
X(f)
Fourier
T
t
f
Echantillonnage
Transformée
inverse de
x T (t)
0
X e (f)
en fréquence
Fourier
T
2T
0 1 2
T T
f
Signaux échantillonnés de durée finie
N 1
xe (t ) = x[ k ] (t kT )
0
Transformée de
x e (t)
0
X(f)
Fourier
NT
t
T
Périodisation
Transformée
Echantillonnage
de Fourier
x Te (t)
0
f
1
0
NT
2NT
0
X e (f)
en fréquence
1
1
NT
T
f
Théorème de Shannon
• Pour éviter une superposition des spectres élémentaires il est
nécessaire dimposer le théorème de Shannon
Fe 2f max
Un signal de spectre borné ne peut pas être que de durée
infinie. Il est donc erroné de considérer des signaux à la fois de
durée et de spectre finis.
93
Spectre dans le cas sinusoïdal
Le spectre d'un signal
échantillonné se compose d'une
série de raies réparties de part
et d'autre des multiples de la
fréquence d'échantillonnage.
Les raies intéressantes pour la
démodulation sont celles qui se
situent aux alentours de 0,
puisque ce sont celles qui
correspondent au signal
original.
94
Transformée de Fourier Discrète
repliement de spectre dans le domaine fréquentiel
x(t )
x(nT )
pas de repliement
f max 1 / 2T
1/ 2T
f max
x(t )
x(nT )
Xe( f )
1/ 2T
+ f max
Xe( f )
repliement
f max 1 / 2T
1/ 2T
f max
transformée de fourier discréte
1/ 2T
+ f max
95
Quelques valeurs
• En téléphonie, on utilise une largeur de bande de 300 à 3400 Hz. Dans
le cadre du réseau numérique à intégration de services (RNIS, ISDN
pour les anglo-saxons), on utilise une fréquence d'échantillonnage de
8000 Hz (au lieu des 6800 théoriquement nécessaires).
• La musique se satisfait de 16, voire 20 kHz de largeur de bande. Un
disque CD (Compact Disc) utilise une fréquence d'échantillonnage de
44 kHz.
• Remarque: Dans les deux cas, il est essentiel que l'on ait au préalable
limité la largeur de bande du signal original : des fréquences inaudibles
dans le signal original deviennent audibles par le phénomène de
repliement !
96
La F.T. dun bloqueur dordre 0
Go ( s ) = 1 / s e sT / s = (1 e sT ) / s
Encore ….
La Transformée de Fourier
mais
… Discrète
100
Transformée de Fourier à temps
discret
• Si le temps est discrétisé
X( f ) = x(t) e2 j f t
tZ
La T.F. est périodique de période 1
• Et la transformée inverse
1/2
x(t) = x(t)e
2 jft
df
1/2
101
Propriétés
• X(f) est périodique T0=1
X( f +1) = x(k) e
tZ
2 j ( f +1)k
= x(k) e
tZ
2 jfk
e
2 jk
= X( f )
Remarques:
1. La transformée de Fourier de Xa(t) d’un signal analogique
n’est pas périodique
2. X(f) est périodique F0=1, tout intervalle de longueur unité
est suffisant pour décrire complètement cette fonction
102
Règle de construction de la TFtd à partir
de la TF de x(t)
x(t) continue en t
xe (t = nT ) la version échantillonnée T période d 'échantillonnage
+
+
xe (nT ) = x(t). (t nT ) = x(t) (t nT )
n=
n=
+
Xe ( f ) = ( x(t) (t nT ))e2 jft dt
t= n=
+
Xe ( f ) = x(nT ).e2 jf (nT )
n=
1/2T
x(nT ) = T
X ( f )e
e
+2 jf (nT )
df
1/2T
conclusion :
x(nT ) Xe ( f ) est une fonction périodique en f de période (1 / T )
• On divise laxe des fréquence par Fe
• On périodise avec la période 1
• On divise l’amplitude par Te
103
Transformée de Fourier Discrète
discrétisation T/F=Périodisation T/F (1)
x(t )
x(t )
TF continue
séries de Fourier
x(nT ) échantillonnage temporel
x p (nT )
TF Discrète
transformée de fourier discréte
X(f )
cn
Xe( f )
X (mf )
104
Observations spectrales
• Précision
– Pour mesurer la fréquence dune seule
sinusoïde
• Résolution
– La capacité de mesurer des fréquences
distinctes
105
Transformée de Fourier discrète
• En se limitant à un nombre fini de L valeurs de la fréquence, à
savoir f=k/L, on obtient la Transformée de Fourier Discrète
N 1
2jkn/ N
X(k)=x(n)e
n=0
• L est le nombre de points de calcul de Tftd et N est le nombre
de points de la suite temporelle
N 1
nk
x(n)= 1 x(n)wN
N n=0
k{0,...,N-1}
avec wN =exp(2j / N)
106
La Transformée de Fourier
Rapide
• Exemple N=2p où p=3
2k
4k
6k
k
2k
4k
6k
X k =(x(0)+x(2)w8 +x(4)w8 +x(8)w8 )+w8(x(1)+x(3)w8 +x(5)w8 +x(7)w8 )
• Ce qui donne
4k
2k
4k
4k
2k
4k
(x(0)+x(4)w8 )+w8 (x(2)+x(6)w8 )
(x(1)+x(5)w8 )+w8 (x(3)+x(7)w8 )
• Une structure de papillon : addition, soustraction
et multiplication
107
La Densité Spectrale
• … est obtenue par la Transformée de Fourier de la fonction
dautocorrélation (théorème de Wiener-Khintcine):
S(f ) = TF{C(p)}=C(p)exp(2jfpTe)
pZ
• La loi de probabilité gaussienne est importante dans la mesure où elle
garde son caratère gaussien dans toute opération linéaire : convolution,
filtrage, dérivation, intégration. En dautres termes, si lentrée dun
système linéaire est gaussienne, sa sortie est gaussienne.
108
Corrélation des signaux
• Définition
x, y(k)= x(l)y(l +k)
l =
• Algorithme
– Le signal y(l) est décalé dune certaine quantité k
– Le produit x(l)y(l+k) est effectué échantillon par
échantillon pour tous les k
– Les valeurs ainsi obtenus sont additionnées
109
Propriétés
2jfk
xy(f )=xy(k) e
=X *(f )Y(f )
Théorème de Parseval
1/ 2
(0)=x (l)= (f ) df
2
x
x
1/ 2
k =0
La fonction dautocorrélation est une fonction paire
110
Transformée z
Transformées
Dans létude des systèmes continus, la fréquence réelle ou la
fréquence complexe s sont utilisées dans la fonction de
transfert T(s) ou H(s) et la fonction de transfert sinusoïdale
H().
Il est avantageux de décrire les systèmes continus dans
lespace des fréquences ce qui permet de tirer un certain
nombre de conclusions concernant leurs propriétés. La transformée en z, basée sur lutilisation dune fréquence
complexe z, va procurer des avantages similaires pour les
systèmes DLI. La transformation en z transforme lespace du
temps discret en un espace de fréquences z. 112
Transformée en z
La transformée en z est très facile à utiliser en plus dêtre très
commode.
•La transformée en z (TZ) de la réponse impulsionnelle dun
système DLI est sa fonction de transfert. •Il existe une relation directe entre la TZ et la TFSD.
•La TZ permet la solution directe des équations aux
différences de la même façon que la transformée de Laplace
avec les équations différentielles.
•La TZ est une méthode générale pour létude des systèmes
discrets.
113
Transformée en z
Définition:
La transformée en z dun signal discret x[n] est:
X ( z ) = x [n ] z n
n =
dans laquelle z, une variable complexe, peut prendre toute
valeur sur le plan complexe appelé, en loccurrence, plan z.
114
Définition
X ( z ) = x ( n) z
n
n = z = e-j.
j
X (e ) = x ( n )e
n =
Transformée
de Fourier
j n
Plane z
X ( z ) = x ( n) z
n
Im
z = e-j
n = j
X (e ) = x ( n )e
j n
n =
Transformée de Fourier équivalente à la Tz
sur un cercle de rayon1.
Re
Transformée en z
Exemples
[n ] [n ]
n
x
[
n
]
z
=1
n=-
[n k ] n
k
x
[
n
]
z
=
z
n=-
[n 3]
117
Transformée en z
Exemples
PN [n ] x [n ] z n = z N + z N 1..... z + 1 + z 1 + .........z N
PN [n]
n=-
PN [n ] z N (1 + z 1 + z 2 + ........ + z 2 N )
PN [n ] z N (1 z 2 N 1 )
(1 z )
1
Remarque importante
10
N
0
N
10 n
Lorsque X(z) prend la forme dun polynôme en z-1, alors le
coefficient de z-n est x[n] . On peut ainsi interpréter z-1 comme
un opérateur de délai unitaire et z comme une avance.
118
Domaine de convergence
Exemples 1) u [n ] x [n ] z
n
n=-
1
z
1
,
z
= 1 + z + z + ... =
=
<1 1
1 z
z 1
1
2
z >1
2) u [n 1] x [n ] z n = z z 2 z 3 ....
n=-
= z (1 + z + z 2 + .... ) = z
1
z
=
1 z z 1
, z <1
Seules, les régions de convergence, ou RDC, spécifiques à chacune de
deux TZ permettent de les distinguer et éventuellement de retrouver
les séquences originales. En somme, il faut connaître la région de
convergence de chaque TZ pour pouvoir retrouver les séquences.
119
Domaine de convergence
Exponentielle 2
a u [n ] x [n ] z n = 1 + az 1 + (az 1 ) + ..... =
n
n=-
1
,
1
1 az
lorsque az 1 < 1 c`est à dire z > a
a n u [n ] 1
, z>a
1
1 az
La condition z > a définit la
région de convergence R, ou
RDC de la transformée en z,
cest à dire le domaine du
plan z où cette transformée
existe.
Im {z}
a
Re {z}
120
Condition dexistence
1
Une suite Un converge si d’ après Cauchy lim[Un ] n < 1
n n =0
Appliquons ce critère à F(Z)
+
1
+
k = k = k =0
1
k k
1
k
F(Z ) = fk Z k = fk Z k + fk Z k = S1 + S2
S2 existe si lim fk Z
k = lim fk lim Z
k 1
k 1
k
Z > lim fk = R Rayon de convergence
k <1
Pour S1 on pose k = -n
1
S1 = fk Z
k = k
+
= f( nT )Z existe si lim f( nT )Z
n
n
n =1
S1 existe si Z >
1
n n
1
lim f( nT )
n Donc F(Z) existe si R- < Z < R+
1
n
= R+
1
k
= lim f( kT ) lim Z < 1
k k La zone de convergence est un anneau
délimité par les rayons R- et R+ qui
représentent léquivalent des abscisses
de convergence de la TL
R+
R-
Remarque : Si f(kT)
est causal R++
Domaine de convergence
Exemples u [n ]
Im {z}
1
Impossible d'acher
l'image. Votre ordinateur
manque peut-être de
mémoire pour ouvrir
l'image ou l'image est
endommagée.
Redémarrez l'ordinateur,
puis ouvrez à nouveau le
fichier. Si le x rouge est
toujours aché, vous
devrez peut-être
supprimer l'image avant
de la réinsérer.
R
1
Re {z}
n
Impossible d'acher l'image. Votre ordinateur manque peut-être de mémoire pour
ouvrir l'image ou l'image est endommagée. Redémarrez l'ordinateur, puis ouvrez à
nouveau le fichier. Si le x rouge est toujours aché, vous devrez peut-être
supprimer l'image avant de la réinsérer.
Im {z}
u [n 1]
R
1
Re {z}
n
1
122
Exemple:
x(n) = a nu(n)
x(n)
...
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
Example
Pour la convergence de X(z) :
n
x(n) = a u(n)
n
X ( z ) = a u (n)z
n = n
1
| az | < | z |>| a |
= a n z n
1 n
= (az )
n =0
| az |< 1
n =0
n =0
1
X ( z ) = (az 1 ) n =
n =0
1
z
=
1 az 1 z a
| z |>| a |
n
Exemple: x(n)=a u(n)
z
X ( z) =
,
za
-a
| z |>| a |
Lequel est stable?
Im
Im
1
1
-a
a
Re
a
Re
Exemple :
x(n) = a nu(n 1)
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
...
x(n)
Exemple :
n
x(n) = a u(n 1)
X ( z ) = a nu (n 1)z n
n = Pour la convergence de X(z) :
1
| a z | < 1
| a z |< 1
n =0
1
= a n z n
| z |<| a |
n = = a n z n
n =1
X ( z ) = 1 (a 1 z ) n = 1 n =0
1
z
=
1 a 1 z z a
n n
= 1 a z
n =0
| z |<| a |
Domaine de convergence
X(z) na de sens que pour des valeurs de z se trouvant dans R,
le domaine de convergence ou RDC. Il faut formellement
définir cette région.
En pratique, la convergence pose rarement des problèmes. Mais ces conditions sont parfois essentielles pour effectuer la
transformation ou la transformation inverse comme dans
lexemple suivant.
128
Domaine de convergence
x [n ]
X (z)
x[n] est borné à gauche, i.e.
x[n] =0 pour tout n inférieur à
un n0 particulier
X(z) converge pour tout z
situé à lextérieur dun
cercle de rayon particulier
x[n] est borné à droite, i.e.
x[n] =0 pour tout n > n0
X(z) converge pour tout z
situé à lintérieur dun
cercle de rayon particulier
x[n] a une longueur finie, i.e.
x[n] =0 pour tout n<n1 et tout
n>n2 avec n1<n2
X(z) pour toute les valeurs
de x sauf éventuellement en
z=0 et en z=
x[n] nest borné ni à gauche, Si X(z) converge, la RDC
ni à droite
se situe entre deux cercles.
129
Transformées en z
Exemple a n e jn + a n e jn
b n + b n*
x [n] = a cos [n ]u[n] =
u[n] =
u[n]
2
2
1 1
1
1
1
1
a n cos [n ]u[n] +
=
+
2 1 bz 1 1 b* z 1 2 1 ae j z 1 1 ae j z 1 n
1 az 1 cos 1 + a 2 z 2 2az 1 cos n
a cos [n ]u[n ] z ( z a cos )
z 2 2az cos + a 2
z >a
a n cos [n ]u[n ]
n
130
Transformée-z
Séquence
Transformée-z
(n)
1
( n m )
z m
ROC
z
z sauf 0 (si m>0)
ou (si m<0)
u (n)
1
1 z 1
| z |> 1
u (n 1)
1
1 z 1
| z |< 1
a u (n)
1
1 az 1
| z |>| a |
a nu(n 1)
1
1 az 1
| z |<| a |
n
Transformée-z
Sequence
Transformée-z
ROC
[cos 0 n]u (n)
1 [cos 0 ]z 1
1 [2 cos 0 ]z 1 + z 2
| z |> 1
[sin 0 n]u (n)
[sin 0 ]z 1
1 [2 cos 0 ]z 1 + z 2
| z |> 1
[r cos 0 n]u (n)
1 [r cos 0 ]z 1
1 [2r cos 0 ]z 1 + r 2 z 2
| z |> r
[r n sin 0 n]u (n)
[r sin 0 ]z 1
1 [2r cos 0 ]z 1 + r 2 z 2
| z |> r
1 aN zN
1 az 1
| z |> 0
n
n
a
0
0 n N 1
ailleur
Linéarité
Z[ x(n)] = X ( z ),
z Rx
Z [ y (n)] = Y ( z ),
z Ry
Z [ax (n) + by (n)] = aX ( z ) + bY ( z ),
z Rx R y
Shift
Z[ x(n)] = X ( z ),
n0
z Rx
Z [ x(n + n0 )] = z X ( z )
z Rx
Multiplication par une Exponentielle
Z[ x(n)] = X ( z ),
n
Rx- <| z |< Rx +
1
Z [a x(n)] = X (a z )
z | a | Rx
Différentiation de X(z)
Z[ x(n)] = X ( z ),
dX ( z )
Z[nx (n)] = z
dz
z Rx
z Rx
Conjugué
Z[ x(n)] = X ( z ),
Z[ x * (n)] = X * ( z*)
z Rx
z Rx
Inverse
Z[ x(n)] = X ( z ),
1
Z [ x(n)] = X ( z )
z Rx
z 1 / Rx
Parties : Réelle et Imaginaire
Z[ x(n)] = X ( z ),
z Rx
Re[ x(n)] = 12 [ X ( z ) + X * ( z*)] z Rx
Im [ x(n)] = 21j [ X ( z ) X * ( z*)] z Rx
Théorème de la valeur initiale
x(n) = 0,
pour n < 0
x(0) = lim X ( z)
z Convolution
Z[ x(n)] = X ( z ),
Z [ y (n)] = Y ( z ),
Z [ x(n) * y (n)] = X ( z )Y ( z )
z Rx
z Ry
z Rx R y
Convolution de Séquences
x ( n) * y ( n) = x ( k ) y ( n k )
k = n
Z[ x(n) * y (n)] = x(k ) y (n k ) z
n = k = = x(k ) y (n k )z
k = n = = X ( z )Y ( z )
n
= x(k ) z
k = k
y(n)z
n = n
Lien avec la Transformée de
Laplace
• Pour p=+2jf, lamortissement et f=fréquence
Tz{x(n)}=TL{x(n)}z= =x(n)e
npTe
e
Plan de Laplace
2jf
0
pt
nZ
e
z=
pt
Plan des {z}
143
Représentation par la
Transformée en z
• Définition
On appelle transformée en z bilatérale dune suite {x(n)},
la somme Xb(z) définie par :
Xb(z) = Tzb { x(n) } = x(n) z n
nZ
Remarque :
On peut considérer la transformée monolatérale:
Xb(z) = Tzb{x(n) }=x(n)z
n
n=0
144
Propriétés
• Linéarité
w(n)=ax(n)+by(n)W(z)=aX(z)+bY(z)
• Shift (retard ou avance)
x(n n0 ) z n0 X(z)
• Inversion dans le temps
x(n) X( z 1)
145
Propriétés
• Multiplication par une exponentielle
n x(n)X( 1)
• Convolution
y(n)=x(n)h(n)Y(z)= X(z)H(z)
• La transformée en z n’a pas de sens que si lon précise le domaine de
convergence
Le domaine de convergence dun signal causal est un codisque
146
Exemple
Boucle ouverte
Si T=1
Pour une impulsion R(z)=1
Exemple
Boucle fermée
Avec contrôleur
Sans contrôleur
Y ( z ) / R( z ) = T ( z ) = G( z ) /(1 + G( z ))
Rappel
Si T=1
Donc
Pour un échelon
Après division
Réponse du système bouclé (en continu et en échantillonné)
Signaux Déterministes
• Dans un contexte de logique câblée ou programmée, il est
immédiat de créer certains signaux déterministe:
x(n)=rectN(n)
x(n)=triangN (n)
• Par contre il est moins facile de créer des signaux plus élaborés
comme par exemple:
y(n)=a exp(e ) cos(2f0nTe ) u(n)
151
Génération des signaux
numériques
• Relation de récurrence :
x(k)=a x(k 1)
x(0) = 1
k
k0
x(k) = a
0 en rest
• Générer un signal sinusoïdal
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)
sin(kb+b)=sin(kb)cos(b)+cos(kb)sin(b)
scos(kb+b)=cos(kb)cos(b)sin(kb)sin(b)
x(0)=0
y(0)=1
x(k+1)=x(k)cos(b)+ y(k)sin(b)
y(k+1)= y(k)cos(b)x(k)sin(b)
x(k)=sin(kb)
y(k)=cos(kb)
152
Relation de récurrence et
transformée en z monolatérale
• Considérons la relation de récurrence:
y(n)+b1 y(n1)+b2 y(n2)=0
b1 et b2 ctes
• La Transformée en z est :
Y
{b y(1)+b y(2)}+{b y(1)}z
(z)= +
1
2
1+b1z1+b2 z
1
2
2
153
Systèmes linéaires invariants
• Définition
Lx(k)= y(k) Lx(k k0)= y(k k0)
N
M
b y(k n)=a x(k m)
n
n=0
m
m=0
Exemple (limportance des conditions initiales)
y(k)=0 k<0
x(k)=u(t)
y(0)=x(0)ay(1)=1
y(1)=x(1)ay(0)=1a
y(2)=1ay(1)=1a+a2
1(a)^(k +1)
y(k)=
u(k)
1+a
154
De lanalogique au numérique
• Discrétisation temporelle
fe 2B
• Discrétisation de lamplitude
N niveaux ------------log2N bits par échantillon
• Débit
D=Fe * log2N
155
Quantification
• La quantification est une règle de correspondance entre :
• Lensemble infini des valeurs des échantillons xa(t=nTe)
• et un nombre fini de valeurs xk
q est le pas de quantification
156
Quantification uniforme
xk
xk(kTe)=nq pour nq xa
e(t)=xk xa(t)
q
q
xe(kTe) nq +
2
2
e(t) est l'erreur de quantification ou le
bruit de quantification
Si la densité de probabilité p(x) de lamplitude du signal est connue, on
peut
déterminer la caractéristique de quantification qui, pour un nombre n donné
de bits, minimise la puissance de distorsion totale.
Hypothèse
Le bruit de quantification est considéré comme un processus aléatoire
stationnaire, il possède une valeur moyenne μe et une variance e qui
sexprime par:
K
K
e2= (xkx)2 p(x) dx= p(xk) (xk x)2dx
k =1 qk
k =1
2
xk + q / 2
xk q / 2
2
K
e= p(xk)
k =1
q
k
12
157
Convertisseur linéaire
qk=q=cte
En écrivant que la somme des probabilités
est égale à 1 :
2
K
p(x )q=1
k
k =1
q
=
2
12
e
Le rapport signal à bruit est donné par :
2
= 2x
=valeurs efficace
e
158
On a ainsi:
2
x
=12
2
q
En exprimant q en fonction de la plage de variation V du signal
Dentrée par un découpage en k=2M intervalles (M nbr de bits)
2
=12 2
V
x
2
2M
dB=10.8+6.M 20log(V )
x
159
Exemples
1)
Pour un signal dentrée sinusoïdal damplitude V/2
x=V /2 2=valeur efficace
dB=10.8+6.M 20log(2 2)=6M +1.77
2)
Un signal avec une distribution gaussienne : la règle de 3
donc V=6x
x=V /6
dB=10.8+6.M 20log(6)=6M 4.76
Remarque:
Moyen simple de déterminer le nombre de bits dun convertisseur
linéaire permettant dassurer un rapport signal à bruit connaissant la
statistique du signal dentrée.
160
Convertisseur Logarithmique
Définition:
Découper les amplitudes en intervalles d'autant plus petits
que l'amplitude est faible.
Méthode : Utiliser un amplificateur non linéaire avant
échantillonnage.
161
La loi μ Etats Unis Japon
y=sgn(x)ln(1+μ x)/ln(1+μ)
x = signal dentrée
μ = le paramètre de conversion
La loi A ou la loi de 13 segments Europe
sgn(x)[A x /[1+ln(A)] pour 0 x 1/ A
y=
sgn(x)[(1+ln(A x)]/[1+ln(A)] pour 1/A x 1
x = signal dentrée
A = le paramètre de
compression A=87.6
Remarque:
Dans la pratique la loi A est une loi approchée par des segments de droite :
chaque pas de quantification vaut le double du pas précédent
162
Numéro de segments / 8bits
13 segments
100
110
101
100
011
010
001
000
1/4
1/2
1
Entrée
normalisée
163