TD IntegraleGene MIAGE2 1 2024-2025

Établissement : Année
UFR Maths Info 2024-2025
MIAGE-GI
TRAVAUX DIRIGES
Niveau : MIAGE-GI 2
Intégrales Généralisées
EXERCICE 1 :
1. Les intégrales généralisées suivantes convergent-elles ? Si oui, déterminer leur valeur.
I1=Z+∞
0
e−3tdt, I2=Z+∞
1
ln(t)dt, I3=Z1
0
ln(t)dt, I4=Z+∞
0
t4
(t4+ 1)√tdt, I5=
Z+∞
1
1
t√t2+ 1dt (Poser pour cette dernière intégrale x=√t2+ 1).
2. Soit Gla fonction définie par : x7−→ G(x) = Zln(x2+ 1)
x2dx.
(a) Donner l’ensemble de définition DGde G.
(b) Calculer G(x)sur DG.
(c) En déduire que l’intégrale Z+∞
0
ln(x2+ 1)
x2dx est convergente et déterminer sa valeur.
EXERCICE 2 :
1. Soit Γla fonction réelle définie par Γ(x) =
+∞
Z
0
tx−1e−tdt.
(a) Déterminer l’ensemble de définition de Γ.
(b) Montrer que ∀x∈R∗
+,Γ(x+ 1) = xΓ(x).
(c) En déduire l’expression de Γ(n)pour tout n∈N∗.
(d) En admettant que
+∞
Z
0
e−u2du =√π
2, calculer Γ(1
2).
2. Étudier la convergence de : K=Z+∞
0
cos(x)
1 + x√xdx.
3. Déterminer la nature puis étudier la convergence de : (a) Z+∞
0
sin(x)
xdx ;
(b) Z3
1
1
(3 −x)√x2+ 1dx ;(c) Z+∞
1
1
√x4−1dx.
EXERCICE 3 :
Soit α > 0.
1. Montrer que l’intégrale Kα=Z+∞
1
sin(x)
xα+1 dx converge.
2. En déduire que Z+∞
1
cos(x)
xαdx converge (intégrer par partie).
3. Montrer que Z+∞
1
cos2(x)
xdx diverge (linéariser cos2(x))
1

4. En déduire que Z+∞
1
sin2(x)
x
dx diverge.
5. Vérifier que quand x−→ +∞,cos(x)
√x∼cos(x) √x+cos2(x)
x.
Mais les intégrales Z+∞
1
cos(x)
√xdx et Z+∞
1cos(x)
√x+cos2(x)
xdx ne sont pas de même nature.
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