coursMP2I-fondements.pdf LLLG

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2023/2024
Cours de mathématiques
Partie I – Les fondements
MP2I
Alain TROESCH
Version du:
4 juillet 2024

Table des matières
1 Logique et raisonnements 5
I Rudimentsdelogique ......................................... 6
I.1 Formule propositionnelles, prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.2 Quantificateurs......................................... 8
I.3 Négations............................................ 9
II Principes de rédaction, modes raisonnements et démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.1 Composition d’un texte mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.2 Comment construire une démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II.3 LeModusponens........................................ 12
II.4 Démonstration par la contraposée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II.5 Disjonctiondescas....................................... 13
II.6 Analyse-Synthèse ....................................... 14
II.7 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II.8 Principe de la descente infinie (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Ensembles et applications 21
I Théorie intuitive des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.1 Définitionintuitive ...................................... 22
I.2 Inclusion ............................................ 24
I.3 Petits ensembles, cardinal d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I.4 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.5 Opérations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
I.6 Union et intersection d’une famille de sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
I.7 Partitions............................................ 31
I.8 Produitcartésien ....................................... 31
I.9 Fonction indicatrice (ou caractéristique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II Paradoxes ensemblistes et axiomatisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II.1 Lacrisedesfondements ................................... 34
II.2 Tentatives d’axiomatisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
III Applications............................................... 36
III.1 Qu’est-ce qu’une application ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III.2 Image directe, image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
III.3 Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Table des matières
3 Relations 49
I Définitionsgénérales.......................................... 49
I.1 Relations ............................................ 49
I.2 Définition de quelques propriétés sur les relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
II Relationsd’équivalence ........................................ 51
II.1 Définitionsetexemples.................................... 51
II.2 Classes d’équivalence, ensembles quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
II.3 Congruences .......................................... 54
III Relationsd’ordre............................................ 55
III.1 Définitionsgénérales ..................................... 55
III.2 Minimalité, maximalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
III.3 LelemmedeZorn(HP) ................................... 60
4 Sommes et produits 61
I Manipulation des signes ∑et ∏................................... 61
I.1 Définitiondesnotations ................................... 61
I.2 Changementsd’indice..................................... 63
I.3 Sommation par groupements de terme (ou associativité) . . . . . . . . . . . . . . . . 64
I.4 Linéarité ............................................ 65
I.5 Sommestélescopiques..................................... 66
I.6 Casdesproduits........................................ 66
I.7 Sommesmultiples....................................... 67
I.8 Produitsdesommes...................................... 68
II Sommes classiques à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
II.1 Somme des puissances d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
II.2 Sommesgéométriques..................................... 71
5 Cardinaux et dénombrement 73
I Cardinaux des ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
I.1 Ensembles finis et cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
I.2 Règles de calcul sur les cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
I.3 Comparaison des cardinaux en cas d’injectivité et surjectivité . . . . . . . . . . . . 76
II Combinatoire .............................................. 77
II.1 Combinatoire des ensembles d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
II.2 Combinatoire des sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
II.3 Formule du binôme et retour sur les sommes de puissances d’entiers . . . . . . . . . 82
II.4 Bijection, Déesse de la Combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
II.5 Preuves combinatoires d’identités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
III Introduction à la dénombrabilité (Spé) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 Nombres réels 87
I Un mot sur Net Z........................................... 87
I.1 Lesentiersnaturels ...................................... 87
I.2 Lesentiersrelatifs....................................... 89
II Nombresrationnels........................................... 89
II.1 Construction de Q....................................... 89
II.2 Relation d’ordre dans Q................................... 90
III Nombresréels.............................................. 90
III.1 De l’existence de nombres non rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
III.2 L’ensemble ordonné R.................................... 91
III.3 Valeurs absolues et parties positives, négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
III.4 Rappels sur les opérations et les inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Table des matières 3
III.5 Division euclidienne dans R................................. 96
III.6 Densité de Qet RQdans R................................ 97
III.7 Partie entière, partie décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
III.8 Représentation décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
IV Intervalles ................................................ 102
IV.1 Description des intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
IV.2 Intervalles et topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
V Droite achevée R............................................ 106
7 Nombres complexes 109
I Les nombres complexes : définition et manipulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
I.1 Définition, forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
I.2 Module ............................................. 112
II Trigonométrie.............................................. 113
II.1 Cercle trigonométrique, formules de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
II.2 Forme trigonométrique, et applications à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . 118
II.3 L’exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
III Racines d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
III.1 Racines n-ièmes ........................................ 122
III.2 Cas des racines carrées : expression sous forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . 124
IV Nombres complexes et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
IV.1 Affixes.............................................. 126
IV.2 Alignement, orthogonalité, angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
IV.3 Transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
IV.4 Caractérisation de certains objets géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128