livre de maths ts2

LIVRE COURS ET EXERCICES TS2 COLLECTION LE SAVANT MONSIEUR SECK Page 1
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LIMITES ET CONTINUITÉ
On considère comme pré requis tout le programme sénégalais de mathématiques des classes de première
S.
Les résultats suivants sont donnés à titre de rappel sans démonstration sur les limites et des compléments
seront ajoutés.
I) Limites
1) Quelques limites usuelles
 n  N* , + = +  n  N* ,  = +    
 n  N * , +
 = + n  N*,    = +    
+ = ++
 = +
+
   = +,a  IR   = - , a  IR
Remarque
x +<=> x  et x >. x <=> x  et x < .
+() peut se noter aussi 
>()
() peut se noter aussi 
<()
2) Quelques théorèmes sur les limites
a) Théorème de majoration
Soient f et g deux fonctions définies dans un voisinage I de .
Si x  I ,    g(x) et = 0 alors  = l .
Remarque
Le théorème de majoration reste valable lorsque 0 = + ou 0=, a  IR.
Exercice d’application
Calculer +
2
Solution
 x  IR , 1 et 2 0.On a 
2  1 2 , +1 2 = 0+= 0 donc
D’après le théorème de majoration +
2 = 0

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b) Théorème d’encadrement ou théorème des gendarmes
Soient f, g et h trois fonctions définies dans un voisianage I de .
Si  x  I g(x) () et  =  = l , l  IR alors
 = l .
Remarque
Le théorème d’encadrement reste valable lorsque 0 = + ou 0 = -  ou 0=, a  IR.
Lethéorème des gendarmes ne s’applique que pour l un nombre réel seulement.
Exercice d’application
Calculer +3  
2
Solution
 x  IR, -1  1 .- 1  1. 1 + 3 3  1 + 3.
2 3   4. 2
23  2 4 2.+2 2 =+4 2 = 0+= 0.Donc d’après
Le théorème d’encadrement +3  
2= 0
c) Théorème de l’unicité de la limite
Si  = l alors l est unique.
Cette limite l peut être finie ou infinie.
Propriétés de Comparaison
Soient f et g deux fonctions définies dans un voisinage I de .
 Si  x  I f(x)  g(x) et  = + alors  = +  .
 Si  x  I f(x)  g(x) et  = -  alors  = - 
Ces propriétésrestent valable lorsque 0 = + ou 0=, a  IR.
Propriété
 Si f est définie en  alors
 = f( ) si et seulement si+= =( ) .
 Si f n’est pas définie en  alors
 = l si et seulement si+= =.

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Exercice d’application
Calculer les limites suivantes.
 2  2
  2
 02  1
 + 1
e) Limite et composition de fonctions
Si f est définie au voisinage de  avec  = l et g est définie au voisinage de l alors
 =  .
Démonstration
Posons t = f(x). gof(x) =g(f(x)) = g(t). (1)
Si x 0 donc t 0 = l .(2) D’après (1) et (2) , 0 =  .
Exercice d’application
Calculer +(1
 + 1).
Solution
+1
 + 1 = 0+= 0 et 0 = 1 donc +(1  + 1) = 1.
f) Théorème du changement de variable
  =  + 
 + = +
  = 
Démonstration
0 = 00 + 
Soit le changement de variable t = x - 0 . t = x - 0 donc x = 0 + . f(x) = f(0 + ) (1)
Si x 0 alors t 0 (2) Donc d’après (1) et (2) 0 = 00 + .
+ = 0+1
 et  = 01
Soit le changement de variable X = 1
 . X = 1  donc x = 1  . f(x) = f(1 ) (1)
Si x  alors X 0 (2) Donc d’après (1) et (2)  = 01
 .
Exercice d’application
Calculer leslimites suivantes :
+1
 et 3 3 2 2  3

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Solution
+1
 Posons X = 1  . Donc x = 1  . Si x + alors X  0+= 0
1
 = 1  sinX . +1  = 0  = 1 donc +1  = 1
3 3
2 2  3 Posons t = x – 3 .Donc x = t + 3. Si x 3 alors t0 .
  3
2 2 3 = 1  + 4 . 3 3 2 2  3 =0
1
 + 4= 1 4 . 3 3 2 2  3 = 1 4
g) Limites des fonctions trigonométriques
 = 1
 = 1
 = 
 = 0
3) Opérations sur les limites
 Cas des formes indéterminéés (FI)
 ,   , +   , -  +  ,  ×  ,  × 
Remarque
 La limite en l’infini d’un polynôme est égale à la limite en l’infini de son monôme le plus haut
degré.
 La limite en l’infini d’une fraction rationnelle est égale à la limite en l’infini du quotient des
monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Exercice d’applicationCalculer les limites suivantes :
32
3
lim
3x x
;
6235lim3
 x x
;
11
402
3)4( )72(
lim 
x
x
x
;
321
lim
3x
x
x
;
x
x
x3
3
lim
;
)2(lim 2xx
x
;
2
2
5)52( 43
lim 
x
x
x
;
 2
12
lim 2
2
1xx xx x
;
x
x
x
3
1
2
lim
;
35 45
lim 4
xxx
x
;
5
4
lim 6
52
xxx
x
;
23
2
lim 2
2
xx xx x
;
Exercice d’applicaion Calculer les limites suivantes :
(a) lim
x
x
x
245
0
(b) lim
4312
4 x
x
x
(c) lim
4² 153
2 x
x
x
(d) lim
2521
2  xx x
(e) lim
x
x
x
1²1
0
(f) lim
3²2 
xx x

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4) Interprétations gémétriques des limites
a) Asymptote horizontale (AH) ou asymptote parllèle à (ox)
 Si + = a ,   IR alors la droite d’équation y = a est une AH à () en + .
 Si  = a ,   IR alorsla droite d’équation y = a est une AH à () en - .
b) Asymptote verticale (AV) ou asymptote parllèle à (oy)
 Si  = ± ,  IR alors la droite d’équation x = a est une AV à ().
c) Asymptote oblique (AO)
 Si +(  ( + )) =  alorsla droite d’équation y = ax + b est une AO à
() en + .
 Si  (  ( + )) =  alors la droite d’équation y = ax + b est une AO à
() en - .
Cette méthode est utilisée pour montrer quela droite d’équation y = ax + b est est une AO à ().
Propriété1
Soit f une fonction et () sa courbe représentative .
Si + = ±  et +()
 = a ,   IR et +( ) = b , b  IR
alors la droite d’équationy = ax + b est uneAO à () en + .
Cette méthode est utilisée pour déterminer l’asymptote oblique à ().
Remarque
Cette propriété reste valable lorsque x .
On dira que la droite d’équation y = ax + b est une AO à () en - .
Propriété2
 Si f(x) = ax + b + g(x) et + = 0 alorsla droite d’équation y = ax + b est une AO à
() en + .
 Si f(x) = ax + b + g(x) et + = c alorsla droite d’équation y = ax + b + c est une
AO à () en + .
Cette propriété reste valable lorsque x . On dira respectivement que la droite d’équation
y = ax + b est une AO à () en  et que la droite d’équation y = ax + b + c est une AO à ()
en - .
Exercice d’application
1) Soit f(x) = 2
 + 1 .
Déterminer  et montrer quela droite d’équation x = - 1 est une AV à ) .