Partie B : Circuit électrique anti-résonant (40 points) B.1. Questions préliminaires (11 points) B.1.1. La résonance en intensité est le phénomène qui consiste en le passage de l’amplitude de l’intensité par un maximum à une pulsation donnée. (1 point) Par analogie, l’antirésonance en intensité est le phénomène qui consiste en le passage de l’amplitude de l’intensité par un minimum à une pulsation donnée. (1 point) B.1.2. Dans le cas du circuit R,L,C série Z = R + jLω + Puis Z (ω ) = 1 − LCω ² + jRCω 1 = . (2 points) jCω jCω (1 − LCω ²)² + R ²C ²ω ² (1 point) Cω B.1.3.. Z (ω ) est minimum à la résonance en intensité dans le circuit. (2 points) Ceci se produit pour ω0 = 1 LC . (2 points) Z =R, réel à la résonance, l’intensité et la tension aux bornes du conducteur oh- mique sont donc en phase à la résonance en intensité. (2 points) B.2. Étude du circuit anti-résonant (29 points) 1 × ( R + jLω ) R + jLω jCω .(2 points) B.2.1. Z = = 1 (1 − LCω ²) + jRCω + R + jLω jCω R ² + L ²ω ² (2 points) B.2.2. D’où : Z ²(ω ) = (1 − LCω ²)² + R ²C ²ω ² B.2.3. i. Numériquement, R ²C / L = 10-6 <<1. (2 points) B.2.3. ii. En faisant alors un DL au deuxième ordre, on arrive à ω 0 ' = ω 0 (1 − f ( R, L, C ) ) avec 2 R ²C f ( R , L, C ) = . (4 points) 2L B.2.3. iii. Numériquement, f ( R, L, C ) = 0,25.10-12. (2 points) D’où : ω 0 ' ≈ ω 0 .(2 points) CONCOURS COMMUN SUP 2010 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Page 4/11 B.2.4. Z (ω ) tend vers R = 10 Ω en 0 et vers 0 en l’infini. (2 points) En ω 0 ' , l’extremum de Z (ω ) est un maximum avec Z (ω 0 ' ) = Z m = notre approximation. Le circuit admet donc bien une antirésonance en intensité. (1 point) L L² + ≈ 107 Ω (2 points) dans C R ²C ² Schéma des variations de Z (ω ) : (1 point) B.2.5. En exprimant u AB de deux manières différentes : ( R + jLω )i ' = i − i' .Ou encore : jCω (1 − LCω ² + jRCω )i ' = i (2 points) B.2.6. À l’antirésonance, elle se simplifie en jRCω i ' = i , puis I ' = 1 L I = 1000 I . (2 points) R C 1 et pour (C1) j Cω − L' ω Lω R R − jLω 1 Y (ω ) = + jCω = + jCω = + j Cω − . On a équivalence R ² + L ²ω ² R ² + L ²ω ² R ² + L ²ω ² R + jLω entre les deux circuits si : Y = Y ' ,(1 point) soit : R ² + L ²ω ² R ² + L ²ω ² (1 point) et L' = . (1 point) R' = R Lω ² B.2.7. Pour (C2) Y' = 1 + R' En se plaçant au voisinage de l’antirésonance, cela se simplifie en : L' = R ²C + L ≈ L = 0,10 H et R' = R + L = 107Ω (2 point) RC CONCOURS COMMUN SUP 2010 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Page 5/11
