Rails de Laplace équation differentielle sur les oscillations

- Deux rails en cuivre horizontaux.
- Une tige AB en cuivre, de masse   pouvant
glisser sans frottement sur les rails. Sa partie centrale
de longueur    baigne dans un champ
magnétique vertical.
-Un fil inextensible, de masse négligeable, attaché par
l'une de ses extrémités au milieu de la tige AB et par
l'autre extrémité à un ressort de masse négligeable et
de raideur    
L'autre extrémité du ressort étant fixe.
- Une poulie de masse        ,
pouvant tourner sans frottement autour de son axe.
Question 1
Etablir l’équation différentielle régissant le mouvement du système. En déduire sa nature.
Question 2
Calculer l'ensemble des caractéristiques de l'oscillateur et donner l'expression numérique de x(t).
On considère le dispositif de la figure ci-dessous qui est constitué de :
A l'instant initial, on écarte la tige de sa position d'équilibre jusqu'à la position   et on
l'abandonne sans vitesse initiale. On donne:          
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Question 1 : Etablir l’équation différentielle régissant le
mouvement du système. En déduire la nature du
mouvement de la tige AB
Pour la poulie de masse M
T.A.A :    
Pour le ressort:      
Suivant x’x :         
A l’équilibre :      soit        
Pour la masse la tige AB : T.CI :     
o  
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Expression du courant induit I
On oriente le circuit de A vers B
L’équation différentielle devient:
D’où l’équation différentielle du système est:
Nature du mouvement :
      l’équation différentielle caractérise un mouvement oscillatoire amorti.
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Question 2: Calculer l'ensembles des caractéristiques de l'oscillateur et donner l'expression numérique de x(t).
Ce régime oscillatoire est dite pseudo-périodique.
La solution générale de l’équation différentielle
s’écrit sous la forme :         
Pseudo- périodique du mouvement:
Pulsation propre 
Amplitude maximale
Pseudo-pulsation
Phase
Expression numérique de x(t)
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