annalyse 4 Chapitre 1

Chapitre 1 : Intégrales dépendants d’un paramètre
1
Chapitre 1 : Intégrales dépendants d’un
paramètre
1-Rappel :
1.1-Présentation :
Soient a et b deux réels tels que :  et f une fonction positive
définie sur  à valeurs dans .
Le but de l’intégration est de calculer l’aire délimitée par la courbe
représentative de f, l’axe des abscisses et les droites d’équations
 et .
Ce nombre est appelé l’intégrale de f sur  et noté : 
ou  .
1.2-Propriétèes :
a b
0
1
2
3
4
5
6
l'intégrale de f
l'intégrale de f

Chapitre 1 : Intégrales dépendants d’un paramètre
2
Soient f et g deux fonctions continues par morceaux sur 
1- L’intégrale est une forme linéaire sur l’espace vectoriel des
fonctions continues par morceaux sur .
2- Relation de Chasles :
.
Ainsi, l’intégrale d’une fonction continue par morceaux est la
somme d’intégrales de fonctions continues.
3- Si f est positive sur  alors  .
4- Si  sur  alors  .
5- Si f est continue par morceaux sur  alors  continue
par morceaux sur  et :  .
6- Inégalité de la moyenne :
 !" .
En particulier,   !"#.
7- Inégalité de Cauchy-Schwartz :
$ %
&
$
&
%$
&
%.
Cette inégalité s’écrit aussi :
$
&
%
'
(
$
&
%
'
(
.
8- Somme de Riemann :

Chapitre 1 : Intégrales dépendants d’un paramètre
3
)*+,+
-
.
 /01
2345
6+
748
#+
7
*9
7
2:8
7;<
où +
<
+
8
=+
2
 est une subdivision de >? et 9
7
@+
7
+
748
.
1.3- Différentes méthode de calculs :
1.3.1- Théorème fondamentale de l’intégration :
Théorème :
Soit A3 une fonction continue et +
<
A.
La fonction : BCC
D
D
E
est dérivable et
F
FD
$CC
D
D
E
%
.
En conséquence, toute fonction réelle continue sur un intervalle I
y admet des primitives.
Remarques :
1- Si f est une fonction continue de I dans et F est une de
ses primitives alors :
A
&
)CC GC G#G
2- Si f est de classe H
8
, alors : #ICC
D
.
Exemples :
1- C
J
C
8
<
K
L
MN'
J48
O
<
8
8
J48
.
2- 
FL
84L
(
8
<
PQCRC
<
8
S
T
.
3- U
&
CC
V
(
<
84WX&L
&
C
V
(
<
K
L
&
XYJ&L
T
O
<
V
(
S
T
.

Chapitre 1 : Intégrales dépendants d’un paramètre
4
1.3.2- Intégration par parties :
Soient f et g deux fonctions de classe H
8
sur un intervalle I et
A
&
.
On a:
ICCC
CC #CICC .
Exemples :
1- Calculons : A
&
Z[R
S
<
.
Posons : \
]
[R
&
Z alors \#U
IZZ.
Par suite,
A#
&
ZU
<
S
ZZU
S
<
^
&
Z^Z) _U
S
<
Une deuxième intégration par parties nous donne :
A^^ZZ_[R
<
S
#[R
S
<
^^Z#`.
2- Calculons : a
b
ZcR
d
8
.
Posons : \
] b
Z
cR alors e
D
f
T
&
I
8
D
Par suite :
aK$
D
f
T
&
%cRO
8
d
#$
D
g
T
%
d
8
d
f
T
h
&
#K
D
f
8i
D
(
&
O
8
d

Chapitre 1 : Intégrales dépendants d’un paramètre
5
j
_kh
T
_
Zh
&
l
_k
1.3. 3- Calcul par changement de variables :
Proposition :
Soient I et J deux intervalles de , A3 une fonction
continue et ma3A une fonction de classe H
8
.
Si a
&
alors :
CC
n
n
ompmI .
Exemples :
1- Calculons l’intégrale suivante : A
d
(q
rd
q
48
8
<
Posons Ch
D
. On a donc : Ch
D
s
FL
L
.
Par suite :
A
L
rL48
d
8
C
L48
rL48
d
8
C#
8
rL48
d
8
C
tZ
jrC_
b
#ZrC_u
8
d
2- Calculons : a
rvJD
D
&d
d
.
Posons : CcR. On a donc : C
FD
D
Par suite : arC
84vJ&
8
CK
&
b
rC
b
O
8
84vJ&
.
2- Interversion limite- intégrale et sommation- intégrale :
2.1- limite- intégrale :