Leçon N° 5 : Les probabilités

Leçon N° 5 : Les probabilités
Ce cours a été commencé en première aussi, une sérieuse révision s’impose. C’est en
premier lieu une question de vocabulaire.
Chaque action dans une situation donnée donne naissance à un univers E ou Ω
ΩΩ
Ω. Par exemple
si nous jetons deux dés l’un après l’autre, l’univers sera E = { (x ; y) x face du dé 1 et y face du
dé 2} ou si nous choisissons une lampe dans une chaîne de production pour la tester alors :
E ={ {x} x la lampe choisie} etc.
Il faut ensuite apprendre à compter les éléments de l’univers, cela nous donne Card E, le
nombre total d’éventualités. Dans l’exemple du dé, card E = 6(6) = 36 éventualités en effet,
nous avons six choix possibles pour le premier dé et 6 pour le deuxième, les dés sont jetés
l’un après l’autre donc (3 ; 6) ≠ (6 ; 3), l’ordre intervient. Dans le deuxième exemple, tout
dépend du nombre de lampes testés, si le test porte sur 1000 lampes alors, Card E = 1000
éventualités.
Tout regroupement d’éventualités donne naissance à un événement A ou B ou C dont on
doit être capable de dénombrer le nombre des éventualités.
Exemple : pour les dés, A : « Sortir un double », Card A = 6 car on a 6 possibilités :
(1 ;1) ; (2 ; 2) ; (3 ; 3) ; (4 ; 4) ; (5 ; 5) et (6 ; 6)
Pour les lampes, si l’énoncé précise que 0,5% des lampes sont défectueuses alors si
l’événement étudié est A : « tirer une lampe défectueuse » alors Card A = 1000(0,005) = 5
lampes.
Lorsque le jeu ou la situation étudiée est soumis au pur hasard alors, nous sommes dans une
situation d’équiprobabilité c’est-à-dire chaque éventualité a la même chance de se
produire. Lorsque nous lançons les deux, chaque éventualité a une probabilité d’apparition
qui est égale à 36
1. Pour les lampes, chaque lampe a une probabilité d’être choisie égale à
1000
1.
Théorème : Dans l’équiprobabilité, nous utilisons la formule de Pascal.
Soit A un événement, alors P(A) =
ECard ACard
.
Il faut se souvenir qu’une probabilité est en fait une fréquence d’apparition.
Conséquence : Pour tout évènement A, 0 ≤
≤≤
≤ P(A) ≤
≤≤
≤ 1. (Soit P(A) entre 0 et 100%)
Il y a deux cas particuliers important :
L’évènement impossible : ∅
∅∅
∅, P(∅
∅∅
∅) = 0 (Par exemple « sortir 7 et 8 avec deux dés »)
L’évènement certain : E, P(E) = 1 (Par exemple « sortir deux entiers entre 0 et 6 avec deux
dés »)
Voyons nos deux exemples :
P(« sortir un double ») =
6
1
36
6
ECard ACard =
==
==
==
=≈
≈≈
≈ 0,167 = 16,7%.
Il y a trois écritures possibles pour une probabilité, un quotient irréductible, une écriture
décimale ou le pourcentage.
P(« lampe défectueuse » =
%.5,0005,0
1000
5
ECard ACard =
==
==
==
==
==
=

Il y a aussi les jeux truqués ou les phénomènes qui ne sont pas dus au pur hasard. Il faut
alors avoir la probabilité de chaque éventualité pour pouvoir calculer la probabilité d’un
évènement. Par exemple, si un évènement A est composé de trois éventualités, e
1
, e
2
et e
3
alors, P(A) = P(e
1
) + P(e
2
) + P(e
3
).
Il y a ensuite quelques théorèmes simples :
Th1 : Si on a deux évènements A et B incompatibles (c’est-à-dire A ∩ B = ∅ , A et B ne
peuvent pas se produire en même temps) alors :
P(A∪
∪∪
∪B) = P(A) + P(B).
Si les deux évènements ne sont pas incompatibles alors :
P(A∪
∪∪
∪B) = P(A) + P(B) −
−−
− P(A∩
∩∩
∩B).
Th2 : Tout événement A possède son événement contraire noté
A
.
(
A
A
∪
= E ; A ∩
A
=∅) et nous avons P(A) = 1−
−−
− P(
A
).
Dans certains problèmes, nous utilisons la technique de l’arbre :
Exemple : nous jetons deux pièces de monnaies l’une après l’autre. Nous pouvons dessiner
l’arbre suivant :
Pile (Pile ; Pile) P((Pile ; Pile)) = 0,5(0,5) = 0,25
0,5
Pile 0,5
0,5 Face (Pile ; Face) P((Pile ; Face) = 0,25
°
0, 5 0,5 Pile ((Face ; Pile) P((Face ; Pile)) = 0,25
Face
0,5 Face (Face ; face) P((Face ; Face)) = 0,25.
L’univers E est composé par des couples (L’ordre intervient première pièce puis deuxième
pièce) : E = { (Pile ; Pile) ; (Pile ;Face) ; (Face ;Pile) ; (Face ; Face) }.
Nous avons 4 éventualités, nous sommes dans une situation d’équiprobabilité et donc :
P((Pile ; Pile)) = P((Pile ; Face)) = P((Face ; Pile)) = P((Face ; Face)) =
4
1
= 0,25 =25%.
Nous pouvons compléter l’arbre en faisant apparaître les probabilités.
Voilà, nous pouvons passer à la fiche de terminale.

TERMINALE STG FICHE LES PROBABILITES
Exercice 1(BAC 2010)
Dans un lycée, on interroge les élèves de terminale STG sur leurs intentions d’orientation
post-bac après le conseil de classe du troisième trimestre. On compte parmi ces élèves 45 %
de filles.
– 95 % des filles souhaitent s’inscrire en BTS ou DUT.
A
E
E
0,45
...........
0,95
.........
........
........
E
E
B
– 90 % des garçons souhaitent cette même orientation.
On choisit une fiche au hasard. Chaque fiche a la même probabilité d’être choisie.
On note A, B et E les évènements suivants :
– A : « l’élève est une fille » ;
– B : « l’élève est un garçon » ;
– E : « l’élève souhaite s’inscrire en BTS ou DUT ».
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
2. Définir par une phrase l’évènement
A E
∩
.
3. Calculer les probabilités des évènements
A E
∩
et
B E
∩
.
4. Calculer la probabilité conditionnelle de A sachant E, notée
(
)
E
p A
et celle de B sachant E
notée
(
)
E
p E
.
Comparer ces probabilités. Que peut-on en conclure ?
Exercice 2 (BAC 2009)
En octobre 2007, une entreprise française de transport lance une nouvelle tarification et
commande auprès d’un institut de sondage une enquête de satisfaction sur l’ensemble de sa
clientèle. Cette étude est réalisée auprès d’un échantillon représentatif de 4 000 clients et
ne concerne qu’un seul et même type de transport.
Lors de l’étude, deux questions sont posées : l’une demandant si le client possède ou non
une carte de réduction et l’autre concernant la fréquence d’utilisation de ce mode de
transport.
• Parmi les personnes interrogées 35 %, soit 1 400 personnes, ont une carte de réduction.
• 1 190 personnes ayant une carte de réduction utilisent ce mode de transport au moins dix
fois par an.
• Un dixième des personnes de l’échantillon représentatif, sans carte de réduction, voyage
au moins dix fois par an.
On choisit au hasard un client parmi les 4 000 interrogés et on considère les évènements C
et T suivants :
C : « le client interrogé détient une carte de réduction »,
T : « le client interrogé utilise ce mode de transport au moins dix fois par an ».
Sauf indication contraire, on donnera les valeurs exactes des résultats demandés.

1. Donner grâce à l’énoncé les probabilités conditionnelles
(
)
C
p T
) et
(
)
C
p T
.
2. a. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :
b. Calculer la probabilité
(
)
p C T
∩ .
c. Calculer la probabilité que le client interrogé utilise ce mode de transport au moins dix
fois par an.
d. Les deux évènements C et T sont-ils indépendants ?
3. Calculer la probabilité que, sachant qu’il voyage au moins dix fois par an, le client ait une
carte de réduction. On donnera une valeur arrondie à 0,01.
Exercice 3 (BAC 2008)
Un lac contient exclusivement trois sortes de poissons : 40 % des poissons sont des brochets,
25 % des poissons sont des truites et le reste est constitué de sandres.
50 % des brochets de ce lac sont de taille réglementaire ainsi que 60 % des truites et 45 %
des sandres.
On pêche un poisson de ce lac : tous les poissons ont la même probabilité d’être pêchés.
On considère les évènements suivants :
• B : « le poisson pêché est un brochet » ;
• T : « le poisson pêché est une truite » ;
• S : « le poisson pêché est un sandre » ;
• R : « le poisson pêché est de taille réglementaire » ;
•
R
: l’évènement contraire de R.
1. Décrire par une phrase l’évènement
T R
∩
.
2. Compléter l’arbre de probabilité de ce problème
Dans les questions suivantes, les résultats seront arrondis au centième.
3. a. Justifier que la probabilité que le poisson pêché soit un brochet de taille réglementaire
est égale à 0,20.
b. Calculer la probabilité que le poisson pêché soit un sandre de taille réglementaire,
c. Montrer que la probabilité que le poisson pêché soit de taille réglementaire est
sensiblement égale à 0,51.
d. En déduire
( )
p R
.
4. Sachant que le poisson pêché n’est pas de taille réglementaire, quelle est la probabilité
que ce soit une truite ?
T
0,85
C
0,35
T
T
0,1
C
T

Correction
Au programme, cette année, les probabilités conditionnelles.
Soit un événement A supposé réalisé, la probabilité d’avoir B réalisé sera :
)A(P )BA(P
)B(PA∩
∩∩
∩
=
==
=
P(A) ≠
≠≠
≠ 0.
Ceci peut apparaître dans un arbre :
B A et
A
sont complémentaires
P
A
(B) Dans la partie droite de l’arbre
Nous supposons A ou
A
réalisés
A P
A
(
B
) et donc sur les branches à droite,
P(A)
B
nous avons les probabilités
P(
A
) )B(P
A
B conditionnelles.
A
Par exemple :
)B(P
A
P
A
(B) probabilité de B sachant que
B
A est réalisé.
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si )B(P)B(P
A
=
==
= .
En fait, la réalisation de A n’influe pas sur celle de B.
Dans les problème, nous regarderons si P(A∩
∩∩
∩B) = P(A)P(B) en effet, si )B(P)B(P
A
= alors
)A(P )BA(P
)B(P
A
∩
= = P(B) soit P(A∩B) = P(A)P(B).
Evidemment, si P(A∩B) ≠ P(A)P(B) alors, les deux évènements A et B ne sont pas
indépendants, ils sont dépendants l’un de l’autre.
Formule des probabilités totales :
Soit A
1
, A
2
, ……, A
n
une partition de l’univers E, alors pour tout événement B, nous aurons :
P(B) = P
A1
(B)P(A
1
) + P
A2
(B)P(A
2
) + …… + P
An
(B)P(A
n
) ou autrement écrit
P(B) = P(B ∩ A
1
) + P(B ∩ A
2
) + …… + P(B ∩ A
n
).
Regardons avec A,
A
,B.
Pour bien comprendre faisons un dessin : Voici figuré un univers E
A et
A
forment une partition de E c’est-à-dire : A ∪
A
= E et A ∩
A
= ∅.
Pour avoir P(B), nous faisons P(B) = P(B∩
∩∩
∩A) + P(B∩
∩∩
∩
A
) ou P
A
(B) P(A) + )B(P
A
P(
A
).
B
E