Exercice 1
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On désigne
la matrice identité de taille (n, n) par In .
Soit Rn le R-espace vectoriel de dimension n muni du
produit scalaire canonique :
Pour tous ~x = (x1 , . . . , xn ) et ~y = (y1 , . . . , yn ) dans Rn ,
on a :
n
X
x i yi .
h~x, ~y i =
i=1
On note ~u = (1, . . . , 1) le vecteur de Rn dont toutes les
composantes sont égales à 1 et F le sous-espace vectoriel
formé par l’ensemble des vecteurs orthogonaux à ~u.
1. Démontrer que F est l’ensemble des vecteurs ~x =
n
X
xi = 0.
(x1 , . . . , xn ) tels que
i=1
2. Quelle est la dimension de F ?
On considère An la matrice de taille (n, n) définie par :
(An )i,j = 1 − δi,j
Cette matrice a des 0 comme coefficients diagonaux et
des 1 partout ailleurs.
3. Enoncer précisément le théorème spectral. Que
peut-on en conclure pour la matrice An ?
x1
..
4. Soit X = . tel que ~x = (x1 , . . . , xn ) est dans
xn
F. Calculer An X en fonction de X.
Exercice 2
+∞
X
1
π2
On admet l’égalité
=
.
n2
6
n=1
On définit pour tout etier naturel non nul n,
n
X
1
. On introduit les séries entières :
hn =
k
k=1
H(x) =
X
n≥1
et T (x) =
X hn
n≥1
n
hn xn ,
X 1
xn
S(x) =
n2
n≥1
xn .
On note I l’intervalle (ouvert) de convergence de la série
H.
1. Soit n un entier naturel non nul. Justifier que
1
h2n − hn ≥ .
2
2. Démontrer que (hn )n∈N∗ diverge vers +∞.
3. Déterminer le rayon de convergence de la série H.
En déduire I.
4. Déterminer les rayons de convergence des séries S
et T.
5. Justifier que la fonction
(G : x 7→ ln(1 − x)/(1 − x))
est développable en série entière sur l’intervalle
] − 1, 1[. Etablir une relation entre G et H.
Soit L la primitive de H sur l’intervalle I telle que
L(0) = 0.
5. Déterminer les valeurs propres de An et, pour chacune de ses valeurs propres, le sous-espace propre
associé.
6. Calculer le déterminant de la matrice An .
On considère Bn la matrice de taille (2n, 2n) définie par
blocs par :
An In
Bn =
.
In An
7. La matrice Bn est-elle diagonalisable ? Justifier
votre réponse.
8. Soit α une valeur propre de la matrice Bn . Démontrer que α est une valeur propre de (An + In ) ou
(An − In ).
9. En déduire que les valeurs propres de Bn sont dans
l’ensemble {−2, 0, n − 2, n}.
10. Déterminer l’ensemble des valeurs prorpes de Bn .
Soit M une matrice de taille (n, n). On lui associe UM ,
la matrice de taille (2n, 2n) définie par
Um =
M
In
In
M
.
11. On suppose M diagonalisable. On note α1 , . . . , αr
les valeurs propres distinctes de M. Déterminer les
valeurs propres de UM en fonction de α1 , . . . , αr .
12. La matrice UM est-elle diagonalisable ?
7. Exprimer L à l’aide de la fonction
(g : x 7→ ln(1 − x)).
8. Justifier que L est développable en série entière et
expliciter son développement en série entière. On
énoncera précisément le théorème utilisé.
9. En déduire une relation entre T − S et L.
10. Soit y ∈]0, 1[.
y
ln(1 − u)
du est une intégrale
u
0
convergente et démontrer l’égalité :
Z y
ln(1 − u)
du + S(y) = 0
u
0
(a) Justifier que
Z
1
ln(1 − u)
du est une intégrale
u
0
convergente et démontrer l’égalité :
Z 1
ln(1 − u)
π2
du = − .
u
6
0
(b) Justifier que
Z
(c) Justifier que
π2
= S(y) + S(1 − y) + ln(y) ln(1 − y).
6
11. Exprimer la valeur de T ( 21 ) en fonction de π. Justifier votre réponse.
