nils serie entiere euclidien

Exercice 1
Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 2. On désigne
la matrice identité de taille (n, n)par In.
Soit Rnle R-espace vectoriel de dimension nmuni du
produit scalaire canonique :
Pour tous ~x = (x1,...,xn)et ~y = (y1,...,yn)dans Rn,
on a :
h~x, ~yi=
n
X
i=1
xiyi.
On note ~u = (1,...,1) le vecteur de Rndont toutes les
composantes sont égales à 1 et Fle sous-espace vectoriel
formé par l’ensemble des vecteurs orthogonaux à ~u.
1. Démontrer que Fest l’ensemble des vecteurs ~x =
(x1,...,xn)tels que
n
X
i=1
xi= 0.
2. Quelle est la dimension de F?
On considère Anla matrice de taille (n, n)définie par :
(An)i,j = 1 −δi,j
Cette matrice a des 0 comme coefficients diagonaux et
des 1 partout ailleurs.
3. Enoncer précisément le théorème spectral. Que
peut-on en conclure pour la matrice An?
4. Soit X=
x1
.
.
.
xn
tel que ~x = (x1,...,xn)est dans
F. Calculer AnXen fonction de X.
5. Déterminer les valeurs propres de Anet, pour cha-
cune de ses valeurs propres, le sous-espace propre
associé.
6. Calculer le déterminant de la matrice An.
On considère Bnla matrice de taille (2n, 2n)définie par
blocs par :
Bn=AnIn
InAn.
7. La matrice Bnest-elle diagonalisable ? Justifier
votre réponse.
8. Soit αune valeur propre de la matrice Bn.Démon-
trer que αest une valeur propre de (An+In)ou
(An−In).
9. En déduire que les valeurs propres de Bnsont dans
l’ensemble {−2,0, n −2, n}.
10. Déterminer l’ensemble des valeurs prorpes de Bn.
Soit Mune matrice de taille (n, n).On lui associe UM,
la matrice de taille (2n, 2n)définie par
Um=M In
InM.
11. On suppose Mdiagonalisable. On note α1,...,αr
les valeurs propres distinctes de M. Déterminer les
valeurs propres de UMen fonction de α1,...,αr.
12. La matrice UMest-elle diagonalisable ?
Exercice 2
On admet l’égalité
+∞
X
n=1
1
n2=π2 6.
On définit pour tout etier naturel non nul n,
hn=
n
X
k=1
1
k.On introduit les séries entières :
H(x) = X
n≥1
hnxn, S(x) = X
n≥1
1
n2xn
et T(x) = X
n≥1
hn
nxn.
On note Il’intervalle (ouvert) de convergence de la série
H.
1. Soit nun entier naturel non nul. Justifier que
h2n−hn≥1
2.
2. Démontrer que (hn)n∈N∗diverge vers +∞.
3. Déterminer le rayon de convergence de la série H.
En déduire I.
4. Déterminer les rayons de convergence des séries S
et T.
5. Justifier que la fonction
(G:x7→ ln(1 −x)/(1 −x))
est développable en série entière sur l’intervalle
]−1,1[.Etablir une relation entre Get H.
Soit Lla primitive de Hsur l’intervalle Itelle que
L(0) = 0.
7. Exprimer Là l’aide de la fonction
(g:x7→ ln(1 −x)).
8. Justifier que Lest développable en série entière et
expliciter son développement en série entière. On
énoncera précisément le théorème utilisé.
9. En déduire une relation entre T−Set L.
10. Soit y∈]0,1[.
(a) Justifier que Zy
0
ln(1 −u)
udu est une intégrale
convergente et démontrer l’égalité :
Zy
0
ln(1 −u)
udu +S(y) = 0
(b) Justifier que Z1
0
ln(1 −u)
udu est une intégrale
convergente et démontrer l’égalité :
Z1
0
ln(1 −u)
udu =−π2 6.
(c) Justifier que
π2
6=S(y) + S(1 −y) + ln(y) ln(1 −y).
11. Exprimer la valeur de T(1
2)en fonction de π. Jus-
tifier votre réponse.